四圓柱和圓錐
一、認識圓柱、圓柱的組成部分
1
。
圓柱的形成:圓柱是以長方形的一條邊為軸旋轉得到的;也可以由長方形捲起來得到。
2
。
生活中常見的圓柱:
3
。
圓柱各部分的名稱及其特徵:
(1)圓柱的上、下兩個面都是圓形的,大小相同,叫做底面。
(2)圓柱周圍的面是曲面,我們叫它側面。
(3)圓柱兩底之間的距離叫做高,一個圓柱有無數條高,它們都相等。
二、圓柱的側面以及側面積的求法
1
。
圓柱的側面展開圖及其形狀:
(1)沿著高展開,展開圖是長方形,長方形的長等於圓柱的底面周長,長方形的寬等於圓柱的高;當底面周長和高相等時(
h
=2π
r
),側面展開圖為正方形。
(2)如果不沿著高展開,展開圖形是平行四邊形或不規則圖形。
(3)無論如何展開都得不到梯形。
2。圓柱的側面展開後各個部分與圓柱的關係:
展開後長方形的長等於圓柱的底面周長,寬等於圓柱的高。
3。圓柱的側面積=底面的周長×高,即
S
側
=Ch
=π
d×h
=2π
r×
h。
三、圓柱的表面積的計算
1。圓柱的側面積加上兩個底面的面積就是圓柱的表面積。
2。圓柱的表面積=2×底面積+側面積,即
S
表
=S
側
+S
底×2=2π
r×h
+2π
r
2。
3。圓柱的切割引起表面積的變化:
(1)橫切:切面是圓,表面積增加2個底面積,即
S
增=2π
r
2。
(2)豎切(過直徑):切面是長方形(如果
h=
2
r
,切面為正方形),該長方形的長是圓柱的高,寬是圓柱的底面直徑,表面積增加兩個長方形的面積,即
S
增
=
4
rh
。
四、圓柱表面積的計算在實際生活中的應用
在實際生活中,有時需要計算圓柱的表面積,如製作水桶時,不要上底面;製作圓柱形通風管時,不需要兩個底面,這時需要計算圓柱的側面積。
五、圓柱的體積以及計算公式的推導和應用
1。圓柱的體積:圓柱所佔空間的大小,叫做這個圓柱的體積。
2。 (1)圓柱切拼成近似的長方體,分的份數越多,拼成的圖形越接近長方體。
(2)長方體的底面積等於圓柱的底面積,長方體的高等於圓柱的高。因為長方體的體積=底面積×高,所以圓柱的體積=底面積×高,用字母表示為
V
柱
=Sh
=π
r
2
h
。
3。不規則物體體積的計算。
如計算左圖這樣的不規則圖形的體積時,一般將兩個完全一樣的圖形拼成一個圓柱,求出圓柱的體積後,再除以2。
4。計算空心圓柱的體積時,一般用底面圓環的面積乘高來計算。
六、容積的意義
容器的容積:容器所能容納物體的多少叫做容器的容積。
七、容積與體積的區別
1。意義不同:體積是指物體所佔空間的大小。容積是指容器(杯子、盒子、油桶等)所能容納物體的大小(即內部體積)。
2。度量方法不同:計算體積時是從物體的外面去測量。例如:計算用玻璃做成的長方體魚缸的體積,就要從外面去分別測量出長方體魚缸的長、寬、高;如果要計算這個長方體魚缸的容積(或容量),就必須從魚缸的裡面去測量,因為做魚缸的玻璃是有一定厚度的。
3。計量單位不同:計算物體的體積,必須使用體積單位“立方米、立方分米、立方厘米”等。計算容積一般使用容積單位“升、毫升”;但計算較大物體的容積時,也拿體積單位“立方米”來通用,因為升和毫升只限於計量液體,如桶裝的汽油、小瓶裝的藥水。
八、容積的計算、運用容積的計算解決問題
1。容積的計算:計算容器的容積時,要從裡面測量圓柱形容器的底面直徑和高。
2。計算容器的容積的方法一般採用計算體積的方法來計算。
3。不規則物體的體積或容積的計算:利用轉化思想,化不規則圖形為規則圖形。
九、圓錐的認識、圓錐體積的計算
1。圓錐的認識:
(1)底面:圓錐的底面是一個圓。
(2)側面:圓錐的側面是一個曲面,展開圖是扇形。
(3)高:從圓錐的頂點到底面圓心的距離叫做圓錐的高,圓錐只有一條高。
2。圓錐的體積:一個圓錐所佔空間的大小,叫做這個圓錐的體積。
3。一個圓錐的體積等於與它等底等高的圓柱的體積的。根據圓柱體積公式
V=Sh
(
V
=π
r
2
h
),得出圓錐體積公式:
V=Sh
。
4。圓柱與圓錐的關係:
(1)與圓柱等底等高的圓錐體積是圓柱體積的三分之一。
(2)體積和高都相等的圓錐與圓柱,圓錐的底面積是圓柱的3倍。
5。計算組合圖形的體積時,一般先分別求出基本圖形的體積,再相加求和。
十、運用圓柱、圓錐的體積計算解決簡單的實際問題
1。運用圓錐的體積解決簡單的實際問題時要注意單位的統一。
2。解答有關等積變形問題時,一般利用數學的轉化思想,抓住體積不變,形狀改變來計算。
十一、木材加工問題
1。求圓木的體積可以根據“圓柱的體積=底面積×高”來計算。
2。橫截面是正方形的木材叫做方木,方木的體積=2
r
2
h
。
巧記
小圓柱直挺挺,上、下底面都相同,可以看作是由長方形旋轉而成的,還可以看作是由平面捲曲而成的。
易錯點:
1。圓柱的側面是曲面,高有無數條,不是1條。
2。高指圓柱兩底面之間的距離。
易錯點:
1。如果底面周長和高相等,展開圖為正方形。
2。底面直徑和高相等,側面展開圖不是正方形。
巧記規律
沿高剪,圓柱側面展開是長方形,側面積是底面周長和高的積。
易混點:
1。計算圓柱的表面積時,不要忘記底面積乘2後再加側面積。
2。無論是縱切圓柱還是橫切圓柱,切一刀會增加2個切面。
易錯點:
解答製作圓柱類問題時,都要用進一法保留最後結果。
易混點:
1。圓柱的體積=底面積×高
2。圓柱的側面積=底面周長×高
方法巧記
1。圓柱的高(
h
)
=V
柱
÷S=V
柱÷(π
r
2)
2。圓柱的底面積(
S
)
=V
柱
÷h
巧記
容積體積本不同,容積度量內部量,體積度量外部量;容積單位:升、毫升或立方米,體積單位:立方米、立方分米、立方厘米。
易混點:
求不規則圖形的體積時,可以利用“轉化”思想將不規則圖形轉化為規則圖形,也就是數學中常說的“等積變形”。
易錯點:
圓錐只有1條高。
易錯點:
圓錐的體積等於和它等底等高的圓柱體積的。
易錯點:
體積和底面積都相等的圓錐與圓柱,圓錐的高是圓柱的高的3倍。
易混點:
“等積變形”就是說形狀不同,但是體積相等。
易混點:
圓木的底面積是π
r
2,方木的底面積是2
r
2。