小樂數學科普:如何利用柱面座標計算三重積分,例如曲面所圍體積

計算線、面、體的積分是微積分學科中的重難點之一,也是理工科大學生需掌握的核心知識點之一。本文小樂透過一個具體案例,給出典型求解重積分的方法過程,並在其中每一步驟,給出相應原理解釋與相關的擴充知識點,供大家系統學習或複習時參考。

首先,我們給出原題:

利用三重積分計算下列由曲面所圍成的立體的體積

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求曲面所圍成的立體的體積

拿到這道題,我們需要先分析一下,題中用方程表示出來的這兩個曲面,分別是什麼形狀。

根據第一個曲面方程:

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上半球面

顯然這個方程,透過適當變形,易知表示球體的上半球面(球心正好位於直角座標系原點,球體半徑為根號5)。

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上半球面

而根據第2個曲面方程:

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旋轉拋物面

如果我們忽略y或者忽略x,就會發現是拋物線方程(頂點在原點,開口向上,即z軸正向),再根據x,y的對稱性,易知這個方程表示一個旋轉拋物面,可以看成一個頂點正好在原點,開口向上(z軸正方向)的一條拋物線,繞z軸旋轉一週後,得到的曲面。

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旋轉拋物面

那麼這兩個面相交後,顯然我們可以聯立方程組:

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聯立曲面方程組,求出解

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適當變形解出方程組

解出:z=1,也就是說,這兩個曲面相交於z=1的高度,相交的形狀是一個圓。

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曲面相交於z=1

那麼我們可以將這兩個曲面所圍成的立體,沿著z=1,一分為二得到上下兩部分,分塊計算體積。

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所圍立體一分為二

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計算三重積分

在上述第2步,我們將笛卡爾直角座標系中的積分,變換成柱座標系的積分。這裡需要注意,被積函式需要乘以一個雅可比行列式(等於r),即下表中的第三個:

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變數代換的雅可比行列式

然後在第3步,我們立即將重積分,化成累次積分(注意界定好各變數的上下限)。

當然這一題,如不限定使用柱座標系計算體積的話,我們其實可以使用對面積微元進行積分(z從0到1,再從1到根號5)求體積的思想,即對一層層薄片面積累加求體積,具體一點就是把立體切成圓形薄片(與z軸垂直),每個薄片的面積都可以使用圓面積公式S=πr²,這裡r隨著z而變化,是關於z的函式,即:

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面積元薄片

然後對面積元進行一維積分,這就與上述第4步所得式子完全一致,但計算速度更快,理解起來也不算太複雜,不失為一種檢驗原解答正確與否的方法,謝謝你的閱讀。