磁晶各向異性能的軌道貢獻(也許這是你苦找很久的vasp教程)

磁晶各向異性能（MAE）

MAE的軌道貢獻

對角項為0的簡單證明

VASP 中的處理

總結

磁晶各向異性能（MAE）

雖然前面講過幾次這個概念，這裡還是簡單介紹一下磁晶各向異性能：

magnetic anisotropic energy （MAE）

當磁性體系的磁矩朝向不同的方向，體系能量會有差異，某一個方向與基態方向的能量差可定義為MAE。舉個簡單例子：對於二維材料，某一個材料磁性基態為

方向垂直於面；當體系的磁矩朝面內時，對應能量為

。那麼MAE的計算公式為：

這裡n為體系磁性原子數目，如果有多種磁性元素，則需要分別去計算。

MAE的軌道貢獻

對於MAE的來源或者說貢獻，可以透過分析不同軌道之間的SOC躍遷矩陣元得到。

這個矩陣元就可以畫成上面的圖，比如我們可以看到對角項（藍色部分）都是0，熟悉SOC的讀者應該可以理解，可以參考前面推文：

SOC矩陣元1

，

SOC矩陣元2

（此處可連結）

對角項為0的簡單證明

以

軌道為例，對應的對角相矩陣元

：

算符的展開：

軌道的組成

寫成方便書寫的Dirac 算符：

對角項矩陣元

接下來我們就可以計算對角項矩陣元了：

展開後由於

和

磁量子數相差2，所以升降算符（

）操作後，依然正交；而

也為0，所以對角項為0。這部分的證明，讀者可以參照前面推文的推導［

此處依然可連結到前面的推文

］

［1］

［2］

VASP 中的處理

這部分非常簡單，不要被文章中的圖嚇到了，這部分就是考慮自旋軌道耦合的計算之後，OUTCAR中的

Spin-Orbit-Coupling matrix elements

OUTCAR內容如下：

Spin-Orbit-Coupling matrix elements

Ion： 1 E_soc： -0。2754109

l= 1

0。0000000 -0。0459427 -0。0465403

-0。0459427 0。0000000 -0。0451011

-0。0465403 -0。0451011 0。0000000

l= 2

0。0000000 -0。0000106 0。0000000 -0。0000132 -0。0000434

-0。0000106 0。0000000 -0。0000193 0。0000004 -0。0000006

0。0000000 -0。0000193 0。0000000 -0。0000214 0。0000000

-0。0000132 0。0000004 -0。0000214 0。0000000 -0。0000134

-0。0000434 -0。0000006 0。0000000 -0。0000134 0。0000000

l= 3

0。0000000 0。0000000 0。0000000 0。0000000 0。0000000 0。0000000 0。0000000

這裡的矩陣不是對應的球諧函式

，而是我們經常使用的

這種。球諧函式

作用在

上對角項不為0。

矩陣的軌道順序如下：

對應的為

可檢視PROCAR中的對應順序：

總結

VASP考慮SOC計算，OUTCAR中的

Spin-Orbit-Coupling matrix elements

即

磁晶各向異性能中的軌道貢獻

前文連結：

SOC矩陣元［上］

SOC矩陣元［下］