如何證明散度定理與高斯定理？泊松公式又是如何推匯出來的？7月1日中午12時，《張朝陽的物理課》第六十七期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐影片直播間，先簡單介紹了向量微積分中的一些基本概念，包括標量場、向量場以及一些重要的微分運算元等，隨後利用簡單的幾何方法證明了散度定理。之後他以引力為例做向量微分運算，對引力勢求梯度得到引力場強度，並且證明了高斯定理，最後進一步結合散度定理推匯出了泊松公式。

直播一開始，張朝陽先介紹了向量微積分中的基本概念。給每個空間點賦予某個量，即可構成某種場。如果每個空間點上的量只用一個數就能描述，那這種場稱為標量場；如果每個空間點上的量不是單個的數而是向量，則稱這種場為向量場。他先介紹了一些基本的微分運算元，其中最重要的是▽運算元。在向量微積分運算中，▽運算元具有微分和向量雙重運算性質，可以簡化運算，並且推導過程簡明扼要易於掌握。將▽運算元作用在一個標量場上，得到的結果稱為該標量場的梯度。將▽運算元與向量場做點乘運算，所得結果稱為向量場的散度。▽運算元也能與自己點乘，得到拉普拉斯運算元。

隨後，張朝陽開始討論散度定理。對於一個閉合曲面，給曲面上的面積元定義一個向量，方向為法向，大小為面積元面積。將某一向量場與面積微元對應的向量點乘後，對整個閉合曲面積分，得到向量場在整個閉合曲面的通量，散度定理是說，此通量等於閉合曲面內向量場的散度的體積分。張朝陽利用簡單的幾何知識來證明這個定理。先將向量寫成分量形式，通量則可以寫成三個分量的積分相加，接下來只考慮z分量項。選取一個細小的平行於z軸的長方體，它在封閉曲面上截取了兩個面積微元，而它在xy平面上擷取的面積微元即為曲面上面積微元在xy平面上的投影。但因為細小長方體截取出來的兩曲面面積元的法向的z分量是相反的，因此它們相差一個負號，於是可以把它們之差寫成關於z積分的形式，這時曲面積分變成曲面內的體積積分。同理，對其它分量也可以用同樣的方法處理得到類似的結果，最終將三個分量的等式合起來就成了散度定理。

接著討論引力，張朝陽先給出了引力勢，並求解它的梯度，得到新的向量場，即引力場強度。質點的質量乘以引力場強度就得到該質點受到的引力。對於多個質點產生的引力勢和引力場，可直接由疊加原理得到。若質量是以連續的分佈存在，將求和改成積分號即可。現在選取一個閉合曲面，計算曲面上引力場強度向量的通量，交換了曲面積分與質量積分順序，而曲面面積元在沿面積元與質量微元的連線上的投影，正是面積元所張立體角乘以面積元到質量微元的距離的平方，該距離的平方可以與引力場強公式中的距離平方相消，於是關於閉合曲面的積分可以化為立體角的積分。

由於曲面外的質量微元的立體角在閉合曲面截取了兩個面積微元，並且兩者的法線在立體角方向上的分量是方向相反的，做積分時剛好抵消。所以只有處在閉合曲面內的體積微元才有貢獻，最終積分得到高斯定理，即引力場強度關於一個閉合曲面的通量正比於閉合曲面包含的總質量。將散度定理應用到引力場，並結合高斯定理，得到引力場強度的散度與質量密度的關係，再根據引力場強度與引力勢的關係，可知拉普拉斯運算元作用到引力勢上就等於質量密度，即泊松公式。

截至目前，《張朝陽的物理課》已直播六十多期，從去年11月開啟第一節物理直播課，他先是從經典物理學開始，科普了牛頓運動定律等；而後從經典物理的“兩朵烏雲”說起，向近現代物理過渡，探討了黑體輻射理論中的維恩公式、普朗克公式等知識。此後逐步進入量子力學領域，從基礎的薛定諤方程等理論內容，到氫原子波函式，再到氣體定容比熱的溫度階梯等更加具體實用的案例。內容豐富、覆蓋廣泛，理論公式由淺入深、繁簡交融。

《張朝陽的物理課》的直播風格獨樹一幟：注重硬核推導，透過一步一步詳盡的數學計算，推匯出相關的物理公式，把每個公式從頭到尾拆解得十分清晰。

據瞭解，《張朝陽的物理課》於每週週五、週日中午12時在搜狐影片直播，網友可以在搜狐影片“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整影片回放；關注“張朝陽的物理課”賬號，檢視課程中的“知識點”短影片；此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號上，閱覽每期物理課程的詳細文章。

除了《張朝陽的物理課》外，在直播方面，搜狐影片正持續打造知識直播平臺，邀請各個科學領域的頭部播主入駐，進行科普知識直播。包括北京交通大學理學院教師陳徵博士，科普“銀河系的形成與發展”；康奈爾大學物理化學博士包坤，化身“包大人玩科學”，帶你瞭解太陽系八大行星的秘密；還有清華大學高等研究院天文學博士王卓驍，探討“人造天體的執行規律”；理論物理博士周思益也開通“弦論世界”直播課，盤點有趣的航天冷知識等。未來還將有更多知識播主入駐搜狐影片，一起互動玩轉科學。文/ 金仁甫

編輯/範輝