作者 | 劉洋洲

2016年3月，AlphaGo與圍棋世界冠軍、職業九段棋手李世石進行圍棋人機大戰，以4：1的總比分獲勝，標誌著圍棋迎來AI時代。

儘管人類職業棋手已經遠遠被AI甩在身後，但是圍棋之謎並沒有就此終結。

上一篇文章我們圍繞圍棋最基本的兩個概念「氣」、「目」展開討論，展示了各種棋形對於兩者的影響。接下來我們嘗試研究棋子之間的「勢函式」及其性質。由此對圍棋的招法做簡單的評判。

n-邊界

在上文中我們避免在棋盤空間引入度量，僅僅從圖的拓撲入手，就定義了「氣」與「目」的概念。下面我們會引入

計程車度量（Taxicab Distance）

，藉助它描述一塊棋的氣變得更加方便——一塊棋的1-邊界就是氣。

所謂計程車度量，區別於歐氏度量（

），是一種定義在標準網格上的距離，

例如，座標為

的兩點，按照歐氏度量計算，距離應該是

，而按照出租車度量計算，則應該是

！！

定義1（n-邊界）

我們定義

1-邊界

就是距離為1的點的集合，進而我們有

2-邊界

，依次類推……特別地，我們定義

0-邊界

就是這塊棋的本身。如下為中腹一顆子的邊界圖。

從內到外分別是這顆子的1~5級邊界。這些方框是計程車度量下的同心圓。

可以看出各種傳統招法與邊界之間的聯絡：

跳、尖，實際上就是落子於盤面已有連通分支的2-邊界上；

二間跳（或稱大跳）和小飛，是落子於3-邊界；

大飛、象步，落子於4-邊界……

常見招法

從這個角度去審視佈局佔角的各種方式，我們發現：

三三是將棋盤兩邊置於落子的2-邊界；

小目是將棋盤兩邊分別置於落子的2 、3-邊界；

星是將棋盤兩邊置於落子的 3-級邊界；

高目是將棋盤兩邊分別置於落子的 3、4-邊界……

第一手佈局常見招法

勢函式

距離的遠近關乎棋的生死。我們借用物理中場的概念，考慮等勢曲線：屬於同一條等勢曲線的棋子我們視其為有相同的勢。距離越近，勢越大，反之，勢越小。比如引力場的勢與距離成反比，那麼圍棋的勢函式有什麼特性呢？這完全取決於我們如何定義。

！！

定義2（勢函式）

在特定的範圍

內，給定某局面

下

，黑白某方兩塊棋

在所有局面中連線成功的機率，用條件機率表示為：

根據條件機率的計算公式

方便我們計算勢函式。

這麼說有些抽象，我們先來看一個例子。

例 1

見上圖，黑棋跳，只需再走一手棋就可以連線兩子。我們考慮的區域性範圍是

（溫馨提示：按照圍棋的傳統，棋盤左下角的座標是

而並非座標原點）。給定的局面是這三個位置中，已經有兩個位置被黑棋佔據，接下來計算此兩子連線的機率：

按照直覺計算，星位

有黑、白、空三種情況（空意味著脫先），但只有一種情況符合要求，所以此機率為

例 2

秀策小尖（黑棋）

如上圖，黑棋小尖，兩顆黑子在彼此的2-邊界上。我們考慮的區域性範圍是

黑棋二子連線的道路有兩條，步長為2-級路徑卻有兩條（見下圖），兩個空點，共有

種情況，但是相連的情況有5種，所以兩黑子之間的勢為

綠圈有黑白空三種狀態，兩圖有一種狀態是重合的

例 3

小飛的連線情況有三種路線，我們順次記為

，我們要求的是這三種路線包含的狀態的並集的元素個數。

由逐步淘汰原則（#表示集合元素個數），

那麼，

代入公式，

於是小飛的勢值、不確定度：

一般情況的估計

將棋盤定義在複平面上，設棋盤上兩點

， 不妨設

是正整數。

m=6，n=3

如上圖，兩黑子連線所有步長為

的路線都在紅色框內，由隔板法可知總共有

條路線，除去

個位置是黑棋，其他

個位置黑白空隨意（這當中可能會出現重複的狀態），這是A抵達B的所有路線情況，於是其勢為：

，

對步長為

的點的勢當然可以進行更精確估計，但是冗餘的估計我就不寫了。可以看出，當固定

時，隨著步長

的增加，勢

急劇下降。

透過前面例3，我們知道計算勢函式的值的一般方法就是，我們記

：

上面公式需要說明兩點：

是對所有的

組合求和，其他同理；

表示路線

與

的聯合機率，其他同理。顯然上面的估計是取該式子的第一項求和。當固定

時，取

關於勢函式的計算，我們還是交給計算機去計算吧！

當我們將第一手下在天元的時候，觀察棋盤上所有點的位勢圖。

天元大勢圖

從影象可以看出勢函式的大致變化趨勢。這幅圖某種程度上體現了傳統著法的合理性，超過綠色帶狀區域，

值低於

，綠色區域大致在2~3-邊界之內。如果“飛”得太遠，建立新的連通分支的可能性就很高了，也就是說很難連回去了。

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