本文來源於哲學門
一階邏輯的內涵語義
熊明
人大影印：
《邏輯》2007 年 01 期
原發期刊：
《湖南科技大學學報：社科版》2006 年第 6 期 第 27-31 頁
關鍵詞：
一階邏輯/ 外延語義/ 內涵語義/ First-order Logic/ Extensional Semantics/ Intensional Semantics/
摘要：
熟知的一階邏輯語義因為只論及個體物件而不涉及屬性實體而被認為是外延的。相對於這一外延語義，一階邏輯還可為其中只含屬性實體而不含個體物件的內涵語義一致且完備地刻畫。比之於外延語義的解釋，內涵語義的解釋使一階語言更接近於自然語言的語義，而且也使一階邏輯對各種題材真正保持了邏輯的中立性。
現代邏輯為“外延主義”的觀點所統攝。作為一種最基本的現代邏輯理論，一階邏輯常常被看作是外延主義的一面旗幟，被認為是隻言說個體物件的符號演算。然而，對於一階邏輯，可構造出這樣的內涵語義，其中不出現任何個體實體。這表明，透過不同的解釋途徑，一階邏輯可觸及完全不同的實在世界。
在具體討論之前，先作一點說明。人們一般把性質詞（或一元謂詞）和關係詞（或n元謂詞，n≥2）籠統地稱為“謂詞”。在這裡，我們嚴格區分這兩類語詞，以“謂詞”專指性質詞，而以“關係詞”指人們常說的n元謂詞（n≥2）。相應地，在一階語言中，我們也類似地區分謂詞符號和關係符號。
一、一階邏輯語義：外延性對內涵性
一階語言是自然語言（尤其是數學語言）的一種形式化體系。基於對自然語言中命題的理解，人們相應於命題的邏輯成分引入聯結詞符號、量詞符號和個體變元，相應於命題的非邏輯成分引入個體常元、謂詞符號和關係符號等等。這構成了一階語言的基本語彙，在此基礎上，還可規定由這些符號形成的表示式——項和公式。對所有這些語彙和表示式進行解釋，就建立了一階邏輯的形式語義。一階邏輯的語義具有以下三個基本特徵：
（Ⅰ）取定某個非空的論域。
（Ⅱ）論域中元素都作為個體變元和個體常元的解釋。也就是說，論域實際上是個體的集合，因此又被稱為“個體域”。
（Ⅲ）論域中若干個體構成的集合作為謂詞符號的解釋，而論域中若干個體的有序組構成的集合作為關係符號的解釋。
根據一階邏輯語義的這三個特徵，人們一般認為這一語義是外延性的。首先，由於論域是個體域，所以在一階邏輯的語義理論中，個體是唯一被承諾了存在性的實體。進而，第二個特徵說明個體是透過提及個體變元和個體常元而被談論。最後，由於第三個特徵，在提及謂詞符號或關係符號時，人們所指並不是某個特定的實體，而是由個體物件 （或其有序組）構成的某個集合。打個比方，這類似於人們在自然語言中提及“紅的”時，所言說的並非紅性實體，而是所有紅的東西。因此，透過這樣的語義解釋，在一階語言中，人們不談論屬性實體或關係實體，而是談論具有屬性或關係的個體，即屬性或關係的“外延”。在這個意義上，一階邏輯的語義被看作是外延語義。
相對於外延語義，我們也可以為一階邏輯制定內涵語義。基本構想如下：
（Ⅰ’）取定某個論域（可以為空）。
（Ⅱ’）論域中元素都作為謂詞符號的解釋。也就是說，論域實際上是屬性的集合，因此又被稱為“屬性域”。
（Ⅲ’）論域中若干屬性構成的集合作為個體變元和個體常元的解釋，而這些屬性集的有序組構成的集合作為關係符號的解釋。
這樣的語義被稱作是“內涵的”，原因有二：第一，這一語義框架不含任何個體物件，而只以屬性實體這樣的抽象實體作為唯一的承諾物件；第二，非邏輯成分以及個體變元都被解釋為它們的“內涵”，具體而言，謂詞符號被直接解釋為屬性實體，個體常元符號和個體變元符號被解釋為屬性的集合，而關係符號則被解釋為屬性集有序組的集合。當然，在內涵語義中，由於個體變元符號解釋有所變化，量詞符號的解釋也發生了相應的改變。但要注意，聯結詞符號的解釋則因只與公式的真值相關而與外延語義中的解釋完全相同。
為了說明上述思想，讓我們首先進入到自然語言的語義層次，分析一下在只承諾屬性實體並以之作為謂詞解釋的條件下如何實現專名和關係詞以及量詞的解釋。為解釋專名和關係詞，我們需要對那些只含專名、謂詞或關係詞的語句進行邏輯分析。以語句（1）“亞里士多德是哲學家”和（2）“亞里士多德生於斯塔吉拉”為例來說明我們的分析。
人們一般把語句（1）分析為“亞里士多德”和“…是哲學家”兩個部分，把語句（2）分析為“亞里士多德”和“斯塔吉拉”以及“…生於…”三個部分。這一分析恰好適應了外延語義的需要。事實上，由於上述分析，個體詞“亞里士多德”（用A表示）和“斯塔吉拉”（用S表示）很自然地被解釋為亞里士多德和斯塔吉拉。“…是哲學家”（用P表示）則因帶有一個空位可解釋為這樣的函式P（x）：當x是某個哲學家的個體時，P（x）取值為真，否則，P（x）取值為假。而“…生於…”（用B表示）被解釋為這樣的函式B（x，y）：當個體x生於y時，B（x，y）取值為真，否則，B（x，y）取值為假［1］63，73。當然，“…是哲學家”可等價地解釋為那些使得P（x）為真的x構成的類，而“…生於…”也可等價地解釋為那些使得B（x，y）為真的x和y的有序組構成的類。這與外延語義中對謂詞符號和關係符號的解釋同出一轍。
相對上面的分析，我們把語句（1）分析為“是哲學家”和“亞里士多德…”兩個部分，把語句（2）分析為“亞里士多德…”和“…斯塔吉拉”以及“…生於…”三個部分。注意，謂詞“是哲學家”不含空位，是因為它已被直接解釋為屬性實體——哲學家性。專名“亞里士多德”現在帶一個空位，是因為它的解釋必須藉助於它後面所接謂詞的解釋。由於在其空位補充上謂詞，我們總能得到一個語句，因此可以視“亞里士多德…”為這樣一個函式A（x）：當x是亞里士多德所具有的屬性時，A（x）取值為真，否則，A（x）取值為假。等價地，“亞里士多德…”可解釋為這樣一個類，其中含且僅含亞里士多德所具有的那些屬性，即“亞里士多德”的內涵。類似可解釋專名“…斯塔吉拉”為某個函式S（x）或某個類。我們以後就把個體詞的這種解釋稱作“內涵個體”以區分熟知的（外延）個體。
對關係詞“…生於…”，我們首先注意它仍帶有兩個空位，填補這兩個空位者則是帶有一個空位的個體詞，這個關係詞與其兩側的個體詞就像拼圖中相互契合的圖片共同構成一個完整的語句。因此，可以把“…生於…”看作是這樣一個函式B（x，y）：當內涵個體x生於（內涵個體）y時，B（x，y）取值為真，否則，B（x，y）取值為假。當然，“…生於…”也可等價地解釋為內涵個體x和y構成的有序對，並使得x生於y。這裡順便指出，我們之所以一開始就對謂詞和關係詞進行了區分，原因正在於二者的解釋完全不同：前者是屬性，而後者則是關於屬性的二階函式，比前者高了兩個層次。
以上還只涉及謂詞、專名和關係詞的解釋，我們下面說明一下量詞的解釋。首先由於個體常元已被解釋為內涵個體，所以個體變元所能指派的物件也只有內涵個體。這樣，含有量詞的語句比如“任何人都是會死的”就被解釋為“任何內涵個體，如果人性在其中，那麼會死性也在其中”。又如，語句“有人愛所有人”可解釋為“存在內涵個體x，人性在x中並且對任何內涵個體y，如果人性在y中，那麼x就愛y。”從這兩個例子可以看出量詞的內涵解釋本質上與其外延解釋是相同的，不同的地方在於對個體的看法改變了。
二、一階邏輯的內涵語義
上面對一階語言的內涵語義進行了直觀說明，我們現在嚴格地建立起這一語義。以漢密爾頓的形式系統“ ”作為所要處理的一階邏輯系統。形式系統 建立在一階語言 上。為簡便起見，讓我們假定 中不含函式符號。已規定 的初始符號、項和公式（其中不含自由變元的公式稱為句子）等表示式，並制定 中公理模式和推演規則，此不贅述。再次強調，漢密爾頓的一階語言中的“一元謂詞字母”相當於本文的“謂詞符號”，而“二元或二元以上的謂詞字母”相當於本文的“關係符號”。用“├A”表示公式A在 中可證，用“Γ├A”表示公式A是公式集Γ的語法後承，用“0”表示假，用“1”表示真，用“Ω”表示真值集｛0，1｝。
1。定義
稱有序組N=＜F，
＞是 的亞模型，若它滿足下列條件：
接下來簡要地證明上述內涵語義對於一階邏輯系統是恰當的，即證明A是公式集Γ的語法後承，當且僅當A是Γ的語義後承。在 中，如通常那樣規定和諧的公式集、極大和諧的公式集。對個體常元集C，規定C是Γ在 中的一組證據，若對 的任意公式A，都有c∈C滿足
（x/c）。利用極大和諧集等可規定下面的典範亞模型。
6。定理（一致性與完備性）設A是 的公式，則有Γ┝A，當且僅當Γ┝A。
上面的引理中的典範亞模型是模仿一階邏輯外延語義中的典範模型構造出來的，引理的證明類似於外延語義中對應的定理。一致性可模仿外延語義中的一致性進行驗證，再利用這些引理，模仿一階邏輯的亨金方法可證得完全性，具體證明都略去。由此可見，一階邏輯的內涵語義一致且完備地刻畫了一階邏輯系統。所以，一階邏輯的內涵語義和外延語義殊途同歸，都達到了恰當地刻畫一階邏輯系統的目的。
三、一階邏輯系統：外延觀對內涵觀
邏輯語義的給出在於賦予形式語言的表示式以解釋，從而達到刻畫邏輯形式系統的目的。在一定的語義下，形式系統自然就表現出特定的語義特徵。前面證明，除了熟知的外延語義，還有內涵語義也能一致且完備地刻畫一階邏輯系統。我們現在來考察一下，在這兩種語義下，一階邏輯系統表現出何種不同的語義特徵。
按照外延語義的解釋，一階邏輯明顯具有下面兩個特徵：第一，謂詞符號不表示屬性實體，而表示某些個體物件構成的類；第二，個體常元一定表示某個個體物件。第一個方面論及的在一階邏輯中只有個體實體而沒有屬性實體被談論，一階邏輯系統因此被人們看作是具有唯名論傾向的邏輯系統。第二方面實際上是要求在一階邏輯中沒有指稱物件的個體常元必須被杜絕，這也就是弗雷格等人所主張的“邏輯完善”之要求④。
在內涵語義下，一階邏輯系統不再具備上述兩個方面的特徵。首先，謂詞符號所表示者恰恰就是屬性實體，而個體常元非但不表示個體物件，而且還表示屬性實體這些抽象實體構成的類。這就使得一階邏輯不但不具有唯名論的傾向，相反還明顯地支援了徹底的實在論——柏拉圖主義——的主張：相對於個體實體而言，屬性實體是更基本的實體。
另外，由於個體常元被解釋為屬性實體構成的類——內涵個體，所以個體常元不一定指稱某個個體物件。比如，在由“偶數性”、“奇數性”、“素數性”和“合數性”構成的論域下，對於某個體常元，當把它解釋為由“偶數性”和“素數性”構成的類時，它有一個確定的指稱物件，即數2。但是，當把它解釋為由“偶數性”和“合數性”構成的類時，它就沒有確定的指稱物件。而在把它解釋為由“偶數性”和“奇數性”構成的類時，它根本沒有任何指稱物件。這就表明在內涵語義下，一階邏輯並不拒斥那些無指稱或有模糊指稱的個體常元。
可見，按照內涵語義的解釋，一階邏輯中的謂詞符號都表示屬性實體，而個體常元則表示某些屬性實體的類，並不一定對應於某個個體物件。因此，在內涵語義的解釋下，一階邏輯並沒有唯名論的傾向，也不滿足“邏輯完善”的要求。
相對於外延語義，內涵語義賦予了一階邏輯不同的特徵。這種差異影響到自然語言中的語句的形式結構。例如，與“Bucephalus”不同，“Pegasus”沒有明確的指稱物件（或者說，Pegasus是非存在的）⑤，這樣，按照一階邏輯的外延語義，“Pegasus”不能被看作是個體常元，而只能被看作是類似於謂詞的東西（比如“being Pegasus”、“Pegasizes”等等）［2］7。相應地，人們一般認為，不同於語句“Bucephalus是馬”具有形式結構“H（c）”，“Pegasus是馬”的形式結構“H（c）”應為“ ”。
但是，按照一階邏輯的內涵語義，個體常元不必指稱個體物件，所以，不論是有指稱物件的專名，還是無指稱物件的專名，在一階語言中都有相應的個體常元與之對應。例如，不論是有指稱的“Bucephalus”，還是無所指的“Pegasus”，都可對應於某個個體常元。這樣，“Bucephalus是馬”和“Pegasus是馬”都可理解為具有形式結構“H（c）”的語句。在這個意義上，同是一階語言，比之於外延語義的解釋，內涵語義的解釋更接近於自然語言的實際。
還應注意，在外延語義下，論域（個體域）必須是非空的，否則無法保證一階邏輯系統的定理等的恆真性。但是，在虛構的題材上，由於這些題材所涉及的個體的域恰恰就是空的，所以諸如 此類的一階邏輯定理不再是恆真的了。因此，一階邏輯實際上根本不適用於那些虛構的題材。在這一點上，一階邏輯對各種題材並不是中立的。與此不同，在內涵語義下，即使論域 （屬性域）為空，也至少存在這樣一個內涵個體——不含任何屬性的“空個體”，從而確保了一階邏輯定理在任何時候都是恆真的。因此，從內涵語義的觀點看，一階邏輯不但是關於實在題材的邏輯，而且在同樣的意義上也是關於虛構題材的邏輯。一句話，作為表達自然語言中各種推理形式的系統，一階邏輯對所有題材都保持中立。
歸結起來，對照外延語義，內涵語義可看作是一階邏輯通往實在的一個新途徑。透過外延語義，一階邏輯所觸及的實在是個體物件構成的世界。而透過內涵語義，一階邏輯相關於這樣一個實在世界，其中都是沒有個體物件，而只有屬性實體這樣的抽象實體。這兩種解釋途徑賦予了一階邏輯系統不同的特徵。總體上看，內涵語義的解釋使一階邏輯更接近於自然語言的語義實際，而且還真正保持了邏輯的本色——即對各種題材保持了中立性。
收稿日期：2006-05-13
註釋：
④弗雷格第一個明確地提出這一觀點，見王路（譯），《弗雷格哲學論著選輯》（北京：商務印書館，1994年版），第104頁。羅素等人也持類似的見解，見羅素，晏成書譯，《數理哲學導論》（北京：商務印書館，1982年版），第159頁。
⑤Bucephalus是亞歷山大大帝的戰馬，Pegasus是古希臘神話中繆斯的坐騎，是美杜莎死後從其屍體躍出的一匹生有兩翼的飛馬。
參考文獻：
［1］ 王路。弗雷格哲學論著選輯［M］。北京：商務印書館， 1994。
［2］ 蒯因，江天驥。從邏輯的觀點看［M］。上海：上海譯文出版社，1987。