此題是哈爾濱的王老師留言分享的，由於今年比較忙碌很少有精力去研究題，所以分享文章的時候也不多，錄影片都是假期不休息或者平時晚上有力氣的時候錄幾個，能堅持分享就挺不容易了。所以此題也是幾天後才看的，所以很多人留言或者問題我都是拒絕的，確實沒有精力去看，只能透過圈子或者一些群給大家搭建交流的平臺。

話不多說，我們先看題目：此題是八年級正方形的綜合題，一共三問，難在只能有八年級的全等及勾股定理去解題，九年級才學相似共圓及三角函式。偶爾大家覺得我分享了很多方法，題也比較難，會誤認我我數學能力很強。其實我想說，你要願意花一兩天時間研究一道題，也會很厲害，很多方法是逐漸嘗試摸索出來，或者逐漸最佳化，這個思考的過程很重要，由於精力有限思考也是斷斷續續的。

我們先看第1-2問的構造思路，透過四邊形對角互補共定點一端線段對應相等想到旋轉構造，對於第2問來說第2個圖實用性很強，可以瞬間推出結論；

第三問需要利用角平分線所分線段對應成比例，這裡八年級面積轉化可以證出，這是以前分享過的圖片；​

第三問先證45°角（補上方法）

解法一：透過已知的2倍關係結合角分線比例關係，可以直角算出AE和DE關係，再透過旋轉造全等結合面積求出正方形的邊長，最後求CH長度仍然用角分線比例關係；​

解法二：構造思路透過已知條件找角的關係，∠EAD+∠EDA=45°，結合角度關係透過正方形十字架垂直全等構造半形模型，再透過旋轉證明出線段關係，透過設未知數在直角三角形中勾股定理即可求出AE和FG的關係，從而表示出AE和BQ，利用面積求出邊長，再結合角分線所分線段成比例求CH長度；​

解法三：我用了一個逆推中位線，但可能八年級也不能用，這個推出中點後求解很方便，只是提供個思路，大家可以借鑑下。當然求解CH方法也不唯一，我利用EH是角平分線所分線段成比例，求出HD，再結合直角三角形求解。也可以連線AC，因為AC和BD垂直，直接在勾股求CH即可。​

根據解法三完善成八年級解法，這麼構造後計算量大大降低，利用三角形底和高的關係進行轉化，斷斷續續想了兩天逐漸最佳化。

此題是典型的半形旋轉結合12345題型的結論，如果九年級或者中考出現，很多方法都可以用，此題就沒什麼難度可言了。初中平面幾何之所以難，就是難在方法要符合學生的認知規律，有年級限制及解法限制，畢竟要面向全體學生。

以上僅僅是個人思路，當然也借鑑一點高手解法，希望對大家有幫助，如果有好的解法也歡迎分享。

​