傅立葉變換

週期訊號傅立葉級數表示

描述週期訊號最簡單的週期函式就是我們所說的諧波函式，例如一個餘弦訊號：

令：

固一個帶初始相位的餘弦訊號可以看成一個不帶相位資訊的正弦訊號和一個不帶相位資訊的餘弦訊號構成。

在現實中，週期訊號要比正弦訊號複雜的多，但是這些複雜函式在一定程度上都可以分解成一系列不同頻率正弦和餘弦訊號疊加而得。

考慮一個週期為2T的週期訊號那麼根據傅立葉級數展開為：

現在我們考慮一個離散時間訊號{x1，x2…xN-1}，那麼利用上面週期訊號的傅立葉級數，離散時間訊號可以表示為：

所以離散訊號的第k項仍然可以表示為一個正弦訊號和一個餘弦訊號的和，且其頻率為：

k=0時，a0為訊號頻譜中的直流分量；

k=1時，該基波週期最大，頻率最低且頻率等於原離散序列的週期，也就是Fourier諧波分析中能夠檢測的最小頻率，且該最小頻率由原序列的週期即取樣長度決定；

k最大值是N/2，那麼此時諧波週期最小，頻率最大為：1/2fs；

考慮一個方波，週期1s，頻率1Hz，那麼透過Fourier分析，檢視其頻譜分佈，具體如下圖所示，（方波奇函式，故傅立葉分析中只有係數bk存在，且當k等於偶數時，bk也等於0）：

反之透過各諧波分量也能夠恢復出原訊號，在不同次諧波下恢復出的訊號與原訊號關係如下圖所示：

可以看出透過Fourier可以分析原訊號中各個頻率分量的構成。

非週期訊號傅立葉變換

連續訊號

透過上面分析我們得知，任何一個週期訊號都可以表示成一組成諧波關係的正餘弦訊號表示，根據尤拉公式，指數訊號能夠分解成正弦與餘弦訊號表示，故x（t）可以重新表示為：

若訊號x（t）是一個實訊號，則有：

透過上面我們能夠得到傅立葉級數的另外一種表示方法，即復指數表示法。

將上式兩邊同乘以e-jnwot，那麼得到：

將上式從0->T積分

帶入上式得到：

我們首先考慮一個週期訊號即，在一個週期內：

那麼有周期訊號傅立葉級數指數表示可以得到：

可以看出這些係數都是sinc訊號的等間隔取樣，取樣間隔是2pi/T，隨週期的增加而減小。

週期訊號的傅立葉級數可以重新表示成：

隨著T的增加，w不斷減小，當T趨於無窮時，那麼ak就可以看成趨近於這個包絡函式。

現在考慮一個訊號x（t），它具有有限的持續週期，從這個非週期訊號出發，我們就能構造出一個週期訊號，使得x（t）是這個週期訊號的一個週期，在這種情況下我們就能夠用上面的結論得到這個連續非週期訊號的傅立葉變換表示如下：

離散訊號

傅立葉級數表示

對於離散訊號而言，離散週期訊號的傅立葉級數可以表示為：

同樣對於週期方波訊號x［n］，其可以表示為：

可以得到：

不同N1和N的取值下，得到的ak結果如下圖所示：

考慮一個離散序列x［n］，它具有有限的持續時間，也就是說，對於某個整數N1和N2，在［-N1，N2］範圍以外x［n］=0，那麼同連續訊號一樣，我們可以構成一個週期序列x‘［n］，使得x［n］是x’［n］的一個週期，那麼當該序列週期N趨於無窮大時，有x‘［n］=x［n］。

故對該週期無限大的序列，利用離散訊號傅立葉級數得到：

定義如下函式：

那麼可以得到：

透過ak能夠得到序列x［n］為：

當N趨於無窮大後，w0不斷減小，那麼上式的累加就能夠變成積分，同時因為這個求和是在N個寬度為2pi/N的間隔內完成的，所以總的積分割槽間總是一個2pi的寬度，故可以得到離散時間訊號傅立葉變換如下：

考慮同樣的矩形脈衝序列，得到其傅立葉變換如下圖所示：

可以看出這個和連續方波訊號傅立葉變換的區別是離散訊號傅立葉變換是週期的，且週期是2pi，而連續方波傅立葉變換是非週期的。

時域的週期————>頻域離散

時域非週期————>頻域連續

時域的離散————>頻域週期

時域的連續————>頻域非週期