摘要

：從研究擲硬幣開始，探討了擲硬幣次數n與硬幣正反面差

的關係，發現了二者與圓周率的數學關係，而且還發現與

沃利斯乘積公式相關。

關鍵詞

：擲硬幣；圓周率；沃利斯乘積

1、

問題的提出

擲硬幣作為古老的隨機試驗，已為大家所熟悉，投擲硬幣，出現正面、反面的機率均為0。5，在做試驗時，隨著試驗次數n的增加，出現正反面的頻率波動越來越小，逐漸穩定於0。5，但同時，還有另外一個現象，就是隨著試驗次數的增加，硬幣正反面次數的差

也是增加的，我們已經知道，當n趨於無窮大時，正反面差值

也是趨於無窮大的，但

/n會趨於0，自然地，猜想

是比n低一階無窮小，那麼

/n

可能趨於一個常數。

2、透過理論計算找常數

投擲硬幣n次，可能出現的事件總數為

，其中出現m次（0≤m≤n）正面的事件的數量為

，其正反面差為│n-2m│，顯然

=

，

設

=

│n-2m│，理論上平均正反面差

=

/

，

據此公式，作出下表：

表1

可以看到，平均正反面差

成對出現，猜測

=

，證明如下：

對於任意正整數n

比較數列{

}、{

}、{

}與

沃利斯乘積公式，發現

項等於

沃利斯乘積公式前

（2n-2）項積的倒數（n>1），

項等於

沃利斯乘積公式前

（2n-1）項積的倒數，

項等於

沃利斯乘積公式前

（n-1）項積的倒數（n>1）。由此可見，擲硬幣也可以得到沃利斯乘積公式的表示式。

由此又得到一個極限與圓周率相關的公式。

3、

總結

以上論文的順序基本按照發現常數過程寫作而成，因為最終尋找的常數為2/π，也就是說，可以透過做實驗擲硬幣的辦法求得圓周率，在網上搜索做實驗得到圓周率的辦法，全部都是預設圖形然後再投點或投針的辦法，透過投中次數與總投擲次數的關係算出圓周率，沒有一個是不預設圖形來得到圓周率的。在得出此常數的過程中雖然很簡單，但簡單卻並不意味不重要，隨機數中隱藏著圓周率，這裡有什麼數學意義，是接下來需要研究的問題。