在歐幾里得公理體系中，作為其基石的五個公理以及五個公設中的前4個都是容易被承認的，但是，第五公設卻沒有那麼簡單明瞭，在《幾何原本》的400多個命題中只有一個命題——三角形的內角和等於兩直角和在證明中用到了這一結果，因此它似乎沒有作為公設的必要，能不能用其他9個公理或公設證明它？人們為此努力了兩千多年，花費了無數數學家的心血。

羅巴切夫斯基

是19世紀著名的俄國數學家。他從1815年著手研究平行線理論，開始也是循著前人的思路，試圖給出第五公設的證明。可是，很快他便意識到自己的證明都是錯誤的，前人和自己的失敗啟迪他大膽思索問題的相反提法：可能根本就不存在第五公設的證明。

於是他調轉思路，著手尋求第五公設不可證的解答。這是一個全新的，也是與傳統思路完全相反的探索途徑。

羅巴切夫斯基正是沿著這個途徑，在試證第五公設不可證的過程中發現了一個嶄新的幾何世界。那麼，羅巴切夫斯基是怎樣證的“第五公設不可證”從而發現新幾何世界的呢？原來他創造性地運用了處理複雜數學問題常用的一種邏輯方法——反證法。

反證法的基本思想是：為證“第五公設不可證”，首先對第五公設加以否定，然後用這個否定命題和其他公理、公設組成新的公理體系，並由此展開邏輯推演。如果第五公設是可證的，即第五公設可由其他公理、公設推演出來，那麼，在新公理體系的推演過程中一定會出現邏輯矛盾；反之，如果推演不出現矛盾，就反駁了“第五公設可證”這一假設，從而也就間接證的“第五公設不可證”。

依照這個邏輯思路，羅巴切夫斯基對第五公設的等價命題——“過平面上直線外一點，只能引一條直線與已知直線不相交”作否定，得到否定命題“過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交”，並用這個否定命題和其他公理、公設組成新的公理體系展開邏輯推演。

羅巴切夫斯基原本也希望推出矛盾，但在推演過程中，他得到一連串非常不合乎常理的命題：諸如三角形的內角和小於兩直角和，而且隨著邊長增大而無限變小，直至趨於零；銳角一邊的垂線可以和另一邊不相交；等等。這些命題不僅離奇古怪，與歐幾里得幾何相沖突。而且與人們的日常經驗相背離。但是，經過仔細審查，卻沒有發現它們之間存在任何邏輯矛盾。於是，具有遠見卓識的羅巴切夫斯基大膽斷言：第一，第五公設不能被證明。第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，並形成了新的理論體系。

這個由新公理體系構成的是一種新的幾何，它的邏輯完整性和嚴密性可以和歐幾里得幾何相媲美。這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何學，簡稱羅氏幾何學。羅氏幾何學的公理體系和歐氏幾何學不同的地方僅僅是把歐氏幾何學平行公理“過直線外一點，能並且只能作一條直線平行於已知直線”用“過直線外一點，至少可以作兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理相同。平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐氏幾何學內容不同的新的幾何命題。

凡是不涉及平行公理的幾何命題，在歐氏幾何學中如果是正確的，那麼在羅氏幾何學中也同樣是正確的。歐氏幾何學中凡涉及平行公理的命題，在羅氏幾何學中都不成立，它們都相應地含有新的意義。

值得提出的是，在羅氏之前，就有人研究過非歐幾何。最早認識到行公理不可證明的是德國數學家高斯，他被譽為非歐幾何的先驅。早在1792年，年僅15歲的高斯就思考過第五公設問題。1794年，他發現了非歐幾何的一個事實：四邊形的面積與（360°一四邊形的內角和）成正比。1817年，高斯在給朋友的信中流露了他的想法。1824年，高斯又在給朋友的信中寫道：“三角形內角和小於180°，這一假設引出一種特殊的、和我們的幾何完全不相同的幾何。這種幾何自身是完全相容的，當我發展它的時候，結果完全令人滿意。”但由於高斯是當時聲望很高的數學家，為了顧及自己的名聲，也由於害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，他沒有勇氣公開發表他的這種與現實幾何學相悖的新發現。