題目:一個二維平面，畫六條直線，最多能把平面分成幾個部分？要是n條直線呢？

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這是一道初一數學暑假作業上的題目。

方法1：直接作圖，歸納法

這應該是作為初一題目的初衷。直接畫圖，所以第一問就是引導的。畫圖數需要有耐心和細心，這是數學所需要的特質，所以第一問能做對的還是很不錯的。

畫圖可以得出一系列結果，

n=0時，f（0）=1；

n=1時，f（1）=2；

n=2時，f（2）=4；

n=3時， f（3）=7；

n=4時，f（4）=11；

n=5時， f（5）=16；

n=6時， f（6）=22；

……

但是，越畫越複雜，能得出正確結果還是不容易的。

至於第二問就更麻煩了，得歸納出規律，雖然不難發現規律，但要用表示式表示對於初一學生還是有點難。

可以發現，f（n）=f（n-1）+n

這樣迭代下去，可以得到f（n）=1+（1+2+3+。。。+n）=1+n（n+1）/2

這一問能做出來的應該就具有學霸的潛力了，因為對於初一學生還是有點難的。

方法2：抽象的邏輯遞推

其實這個方法是第一個方法的昇華版，只是更加抽象和切中要害。當畫第n條直線時，最多能多出n-1個交點，每多出一個交點，就多出兩個部分，但這些交點所劃分的部分都是相鄰的，就像一群人手拉手，相鄰的手是重疊的，所以最終只會多出n個部分，即f（n）=f（n-1）+n。然後跟上一方法一樣可以得到f（n）=1+n（n+1）/2。

方法3：待定係數法

這個方法不是很嚴謹，但易於操作。假設f（n）=a n^2+b n +c，然後把f（0）=1；f（1）=2；f（2）=4；代入，可以求出a=b=1/2，c=1，直接得到f（n）=1/2 n^2+1/2 n +1=1+n（n+1）/2。

當然，一開始也可以到三次方項，那樣的話就多代入一個方程，計算複雜一點，但結果一樣。這個方法的缺點是，不好確定最高次到哪一項，不過根據經驗平時遇到的題目次數一般不會很高，了不起到三次項。

順便說一下四個不同的學生做這道題的情況

A同學，初一

數學成績較差，第一問就做錯了，把以上三種方法講給他聽，小夥子嘴蠻甜，問懂了沒，總是懂了，但其實並沒有懂，事後也沒有訂正。還是比較聰明的小夥子，但學習的主動性不強，只是迫於家長的壓力應付，比較浮躁，無法靜心學數學。數學已經考不及格，雖然基本概念還是掌握了，態度不改變的話，數學將會越來越差。該生文科不錯。

B同學，初一

數學成績中等偏上。小夥子拒絕做此題。因為，他連作業都不積極做的，何況額外的題目。該生是我見過最聰明的孩子，他的學習是完全放羊式的，沒有任何額外輔導，連老師的作業也不是都能完成。放學不做作業，很早就睡覺，第二天早晨五點左右醒了才趕作業。所以，他的成績好壞，完全依賴於老師的要求是否嚴格。這種狀態，小學時成績還能維持上等，初一也能勉強維持中上等，但不看好未來，因為越到後來內容越多，難度也越大，再僅憑聰明是不可能搞好學習的。他現在的心思都在遊戲上，家長無論把電腦藏在哪裡，他都能找到，設密碼也沒有用。據說這學期老師反映他的作業完不成，後來才發現是半夜起來偷玩電腦，早晨醒不了，錯過做作業的時間。不過，這個小夥子要是願意做這道題，應該沒有問題。

C同學，初一

數學成績中上等。第一天晚上做對了第一問，第二問沒有做出來，第二天又做對了第二問。他用的方法就是第一種方法。該生的特點是，並不是特別聰明的型別，但悟性還是不錯的，以前成績不是很好，但他的優點是比較用功，雖然也喜歡玩遊戲，但家長一直盯著，費了一番苦心，基本能夠控制。初一成績穩步上升，期末實現了85%的得分率，數學106，只要繼續保持努力，還有上升空間。

D同學，高一

數學成績中等，競賽生，做此題屬於“降維打擊”，沒有動手，口算就做對了，用的是第二種方法。