9．

如圖，在平面直角座標系中，拋物線 y＝ax2 + bx + 4 過點 A（﹣2，0），B（4，0），x 軸上有一動點 P（t，0），過點 P 且垂直於 x 軸的直線與直線 BC 及拋物線分別交於點 D，E，連線 CE，AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點 P 線上段 OB 上運動時（不與點 O，B 重合），若 △CDE 與 △ABC 相似，求 t 的值；

（3）當點 P 在 x 軸上自由運動時，是否存在點 P，使 △CDE 是等腰三角形？若存在，請直接寫出點 P 的座標；若不存在，請說明理由．

【解析】

解：

（1）

用拋物線交點表示式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），

將點 C（0 ， 4）代入表示式可得：﹣8a＝4，解得 a＝﹣1/2，

故拋物線的表示式為：y＝﹣1/2 x2 + x + 4，

（2）

由題意得：AB＝6，AC＝2√5，BC＝4√2，

∵ PE∥y 軸，

∴ ∠OCB＝∠OBC＝∠PDB＝∠CDE＝45°，

故只存在 △CDE∽△ABC 和 △CDE∽△CBA 兩種情況，

OB＝OC＝4，則直線 BC 的表示式為：y＝﹣x + 4，

點 P（t，0），則點 E（t，﹣1/2 t2 + t + 4）、D（t，﹣t+4），CD＝xD/sin45°＝√2t，

① 當 △CDE∽△ABC 時，

則 CD/AB = ED/CB，

即 √2t

/

6 = （﹣1/2 t2 + 2t ）

/

4√2，

解得：t＝0 或 4/3（ 捨去 0 ）；

② 當 △CDE∽△CBA 時，

則 CD/CB = ED/AB，

即 √2t

/

4√2 = （﹣1/2 t2 + 2t ）

/

6，

解得：t＝0 或 1（ 捨去 0 ）；

故 t＝1 或 4/3；

（3）

點 P（t，0），則點 E（t，﹣1/2 t2 + t + 4）、D（t，﹣t + 4），

① 當 CD＝DE 時，

即：√2t＝﹣1/2t2+2t，

解得：t＝4-2√2 或 0（捨去 0）；

② 當 CD＝CE 時，

同理可得：t＝0 或 4（全部捨去）；

③ 當 DE＝CE 時，

同理可得：t＝0 或 2（捨去 0）；

當點 P 移動到點 B 的右側時，D，E 的上下位置發生了變化，

同理可得：點 P（4+2√2，0）；

故點 P 的座標為（4-2√2，0）或（2，0）或（4+2√2，0）．

【總結】

1、熟練掌握拋物線的三種表達形式；（一般式、交點式、頂點式）

2、熟練掌握相似三角形的判定條件；（兩邊對應成比例且夾角相等這條非常重要）

3、在圖形的運動變化過程中一定要抓住特殊的點或位置，學會用數形結合，分類討論的數學思想去解決數學問題；

4、兩點之間的距離公式一定要會用，知道平面內兩個點的座標求線段長度！