三角恆等變換的9大常用技巧

解答三角函式問題，幾乎都要透過恆等變換將複雜問題簡單化，將隱性問題明朗化。三角恆等變換的公式很多，主要有“同角三角函式的基本關係”、“誘導公式”、“和、差、倍、半形公式”、“輔助角公式（化一公式）”等，這些公式間一般都存在三種差異，如角的差異、函式名的差異和運算種類的差異，只有靈活有序地整合使用這些公式，消除差異、化異為同，才能得心應手地解決問題，這是三角問題的特點。下面從九個方面解讀三角恆等變換的常用技巧。

一、“角變換”技巧

角變換的基本思想是，觀察發現問題中出現的角之間的數量關係，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半形”，然後運用相應的公式求解。

二、“名變換”技巧

名變換是為了減少函式名稱或統一函式而實施的變換，需要進行名變換的問題常常有明顯的特徵，如已知條件中弦、切互動呈現時，最常見的做法是“切弦互化”，但實際上，誘導公式、倍角公式，平方關係也能進行名變換。

三、“常數變換”技巧

在三角恆等變形過程中，有時需將問題中的常數寫成某個三角函式值或式，以利於完善式子結構，運用相關公式求解，如

四、 “邊角互化”技巧

解三角形時，邊角互動呈現，用正、餘弦定理把複雜的邊角關係或統一成邊，運用代數運算方法求解，或統一成角，運用三角變換求解。

五、“升降冪變換”技巧

當所給條件出現根式時，常用升冪公式去根號，當所給條件出現正、餘弦的平方時，常用“降冪”技巧，常見的公式有：

可以看出，從左至右是“冪升角變半”，而從右至左則是“冪降角變倍”。

【反思】以上兩例表明，“升降冪技巧”僅僅是解題過程中的一個關鍵步驟，只有有效地整合各種技巧與方法才能順利地解題。如例7中用到了常數“變換技巧”，例8中用到了“輔助角”變換技巧。

六、 “公式變用”技巧

幾乎所有公式都能變形用或逆向用，如

實際上，“常數變換”技巧與“升降冪”技巧等也是一種公式變用或逆用技巧。

【反思】這裡透過“角變換”和公式變形得出裂項公式，然後累加消項，這也是數列求和的一種常見技巧。

七、“輔助角變換”技巧

【反思】（1）解答本題的方法很多，比較多用的方法是類比斜率計算公式，把問題轉化為直線斜率問題，也有用萬能置換後，轉化為分式函式求解的。（2）輔助角公式的形成，也可以看成是“常數變換”的結果。 事實上，

八、 “換元變換”技巧

九、 “萬能置換”技巧

“萬能置換”技巧，實際從屬於“名變換”技巧，其特徵是用半形的正切值表示原角的正弦、餘弦與正切。

最後還要指出，這裡介紹的所謂技巧只是解決問題時關鍵步驟的一種特定的做法，每一個問題的解決常常伴隨著幾種技巧的綜合運用，所以，只有準確理解三角公式的內在關係及其基本功能，善於發現問題中角、名、結構的差異，準確地選擇轉換策略，化異為同，才能準確有效地運用三角恆等變換的常用技巧解決問題。

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