0。9。。。=？1嗎？

這個問題看似很簡單，但其實中間涉及了太多的內容了。

作為了一道數學題，李永樂老師借數學的公理化來解答：影片連結

個人之前認可的解答是：

按小學課本的”記法“

1/9=0。1。。。

2/9=0。2。。。

。。。

1=9/9=0。9。。

設方程

x=0。9。。。

10x=9+0。9。。。=9+x

x=1

但正如一般人的“直覺”一樣，0。9。。。無論多少個9都是比1小的。為什麼呢？

因為一般人的“直覺”裡，蘊含了一個神秘的設定：無數個=自然數個。

將問題轉換一下就可以好理解了：

設a1=0。9， a2=0。99， a3=0。999， an=0。9（n個9）， 證明an<1。

利用數學歸納法證明如下：

n=1時，結論成立，

假設n成立，an+1=an+0。0。。。9（中間n個0）

由此可知對於所an<1成立。

透過數學歸納法，我可以證明“0。9。。。<1”。但這裡“。。。”不同於“1/9=0。1。。。”中的“。。。”。因為無限迴圈小數，中的無限個，與自然數的無限個，不是同一個級別，這涉及康托爾一個研究：

實數集合是不可列的。由於實數集合是不可列的，而代數數集合是可列的，於是他得到了必定有超越數存在的結論，而且超越數‘大大多於’代數數。

簡單一點說：

自然數有無數個，實數有無數個，但是實數的無數個要比自然數的無數個要大。

所以最終的結論是：

0。9。。。（N）<1

0。9。。。（R）=1

本質上

0.9...是一個帶有歧義的寫法

，並不是只代表一個數。

所以第一次數學危機，被人利用公理化來定義實數，

可能

不是一個必要的手段，而是同樣要歸因於對於無限的理解上，也即思維上的對無限的理解。正如李永樂老師在片尾提到的：阿喀琉斯追龜的問題。我們重新看一下這個最經典的

芝諾的悖論

。

阿基里斯（又名阿喀琉斯）是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜的競賽中，他速度為烏龜十倍，烏龜在前面100米跑，他在後面追，但他不可能追上烏龜。因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，當阿喀琉斯追到100米時，烏龜已經又向前爬了10米，於是，一個新的起點產生了；阿喀琉斯必須繼續追，而當他追到烏龜爬的這10米時，烏龜又已經向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那個1米。就這樣，烏龜會製造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間製造出一個距離，不管這個距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠也追不上烏龜！

關於這個悖論的數學解答，一般是使用數列的和的極限，即級數的極限來解答。

本來個人對這個解答已經非常滿意，但聯絡到上面的結果，其實說明，即使沒有級數和極限的都可以解釋：

阿基里斯跑出了無數段“追趕“的過程，這個事實上的無數段是R級的，而不是N級的，芝諾按N級的過程來思考無數段”追趕“的過程的結果，即兩者的距離會不會等於零。在N級是不等於零的，在R級是等於零的。

簡單地說：

用越出你能想到的無限次（N級），阿基里斯就能追上烏龜。

人從認識數字開始，1，2，3，4，5，。。。這裡人能認識到無限，這幾乎可以用來當作人與其他動物的根本區別之一，或者說教懂小孩子數數，到能說出任意一個數的下一個數是什麼，如一萬，下一數是一萬零一，那麼他就是真的“人”了。

再回頭看看我們對於無限的認定，這種思維的影響：

【影響1】、第一次數學危機

畢達哥拉斯學派對數字有類似宗教似的信仰，不承認無理數的存在，但不承認的√2正是由畢達哥拉斯定理匯出的，還要將1/9=0。1。。。（N），其實真可以說有理數都還沒弄懂，實在是某種打臉。

【影響2】、第二次數學危機

本次危機的關鍵問題就是無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？

直到19世紀20年代，一些數學家才比較關注於微積分的嚴格基礎。從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裡赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、狄德金和康託的工作結束，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。

波爾查諾給出了連續性的正確定義；阿貝爾指出要嚴格限制濫用級數展開及求和；柯西在1821年的《代數分析教程》中從定義變量出發，認識到函式不一定要有解析表示式；他抓住極限的概念，指出無窮小量和無窮大量都不是固定的量而是變數，無窮小量是以零為極限的變數；並且定義了導數和積分；狄裡赫利給出了函式的現代定義。在這些工作的基礎上，威爾斯特拉斯消除了其中不確切的地方，給出現在通用的極限的定義，連續的定義，並把導數、積分嚴格地建立在極限的基礎上。

19世紀70年代初，威爾斯特拉斯、狄德金、康託等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析建立在實數理論的嚴格基礎之上。

我們可以先看一個數0。0。。。1。

我們可以得到：0。0。。。（N）1>0

那麼，0。0。。。（R）1=？0

個人猜想1：

0.0...(R)1=0

，更一般地

0.0...(R)n=0，n為任意的一個自然數

。

設△1=0。0。。。（N）1，我們也可以得到一個無限小的數，注意這也是一個常量。

設△2=1-0。9。。。（N），我們可以得到一個小無限小的數，注意這是一個常量。

個人猜想2：

△1=△2

。

個人猜想3：△1無論是在十進位制計數，還是二進位制計數，或其他進位制數，它們應該相等。

個人猜想4：二進位制下的0。1。。。（N）和十進位制下的0。9。。。（N），或其他進位制數下，它們應該相等。

再看一個數：r1=8/9=0。8。。。（R）

另有一個數：r2=0。8。。。（N）

那麼△3=r1-r2的結果也應該是一個常數，但它也是無窮小。

個人猜想5：

△1=△2=△3

。

顯然令：r3=0。898。。。（N），顯然有：r3-r2 ！=

△3

這跟我們習以為常的加減法中，

“位數對齊”

有著更深層次的聯絡。

令△4=0。0。。。（N）2，我們也可以得到一個無限小的數，注意這也是一個常量。

但△4/△1=2，而不是0/0那種“無意義”算式。

個人猜想6：

△1是最小的正實數。即0的下一個實數是△1。

令△5=1/9。。。（N），我們也可以得到一個無限小的數。

個人猜想7：

△1<△5。

個人猜想8：

△5是最小的一個正有理數，即0的下一個有理數是△5。

再在數制上擴充一下：

令0。1。。。（N2），表示二進位制表示下的無限（N）次迴圈小數。

用數學歸納法，容易得到

0.1...(N2)<0.9...(N10)

，但

0.1...(R2)=0.9...(R10)

所以1-

0.1...(N2)>1-0.9...(N10)，也即考慮了數制後，△1是隨著數制的變化而變化的，這也我們日常使用不同的單位下，最小的單位是不同的保持一致：如1米要大於1尺。

無限個，即無窮大是一體兩面，無窮小，也是一體兩面，也可以說是歧義性的，只要在無限（N級）上，它就不是零，而達到了無限（R級）上，它就是零。

函式的極限由級數的極限推廣而來：

這個版本的極限定義中使用的“任意比零大的數”，是一個構建存在型的定義，即只要證明存在一個數，令函式值與極限距離小於“任意比零大的數“，也就是所謂“無限接近”的

曲線化

的定義方式。因為級數的極限，與自然數的連續性有關，自然數的連續性是我們最習以為常的n和n+1，所以這個是使用了

自然數的連續性“代替”或“產生”實數的連續性

。

這個推廣的思路和過程，是否還有不嚴謹的地方或者更深層的含意呢？

我們回頭再看看芝諾悖論：阿基里斯追烏龜的問題如果以級數的極限來理解：

設阿基里斯的速度是10，烏龜的速度為1，阿基里斯和烏龜初始距離是1，那麼

從追趕的時間上來看：

阿基里斯按芝諾描述的過程，每一次追趕的過程消耗的時間為：

0。1

0。01

0。001

。。。

0。0。。。（N）1

它們之和是0。1。。。（N）和1/9是不相等的，但0。1。。。（N）的極限是1/9，即0。1。。。（R）。

極限的成立在於有一個數比自然數的個數還要大。那麼極限用級數來展開是否錯誤？

1/9=0。1+0。01+0。001。。。

這個等式成立嗎？當你列出實數個數的項是正確的，但列出自然數個數的項是

錯誤

的。

這裡會涉及到計算機領域的“可計算問題”，所有“可計算”，只是在實際上最多隻能達到“自然數”個數的項，而達不到邏輯上的實數個數的項，所以從根本上說，計算的結果可能只是一個近似值。

後述有機會展開討論。

無限接近，如果只是在無限在N級，就是無有達到，即距離大於0，如果在R級，就是達到，距離等於0。所以連續的概念

是否

可重新梳理如下：

在自然數下：1，2，3，4 。。。 我們稱n和n+1是連續的。

在有理數下：我們稱q和q+

△5

是連續的

。

在實數下：我們稱r和r+

△1

是連續的

。

在複數下：我們稱c和c+

△1

是連續的，c+

△1是兩個數，即△1分別加於實部和虛部。

重新認識實數的連續性，與直線和曲線的連續性是一致的，以及歐氏第五公理的平行的理解也可以“反作“於代數領域，未來實數，複數的數系還有可能進一步地推廣。

【影響3】、第三次數學危機

本次危機以羅素悖論或”理髮師“悖論為標誌，樸素集合論受到極大的挑戰。

在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子裡看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

這個問題似乎本身是邏輯學的事情，似乎跟無限沒有什麼直接的關聯，理髮師悖論的核心問題在：

城裡有一位理髮師，代表理髮師是城裡的一個人。

廣告詞上：本城所有不給自己刮臉的人。

一般來說，這個悖論的解決方式是：如果理髮師不是城裡的一個人，或理髮師將自己排除在規矩之外，悖論就不成立了。

但還可以從規則上分析：”本城所有不給自己刮臉的人“，這句話中”本城所有不給自己刮臉的”這個修飾部分，我們一般理解為人的一個屬性或者一個狀態。任意一個時刻，一個人應該處於“為自己刮臉”和“不為自己刮臉”，這兩種狀態之一，同時，對於任意一個人，一個時間段內，或一生中，其實這種狀態是“連續”地在變化的，任意一個人都可以在兩個狀態中切換，所以這個過程，我們定義一個函式：

f（x）=1，2【1為不自己刮臉的狀態，2為自己刮臉的狀態】

對於理髮師之外的人，一般的型別有三種，如下：

當我們要畫理髮師的曲線時，會遇到一個問題：

畫不出來

。

為什麼畫不出來？

我們試圖慢動作地將這個過程演示一下：

t1時刻，理髮師發現自己鬍子長了，他的狀態為：不自己刮臉。按照規則，理髮師可以為自己刮鬍子。

t2時刻，理髮師在刮自己的鬍子，他的狀態為：自己刮臉。按照規則，理髮師不可以為自己刮鬍子。

因為人只能處於其中一個狀態，所以t1時刻的狀態，只能對下一個時刻產生影響，同理t2時刻的狀態，也可能對下一個時刻產生影響。

但t1和t2的下一個時刻是什麼？下一個小時，分鐘，秒，毫秒，我都知道，但下一個時刻應該是比這些單位都要小，瞬間又變得很熟悉，回到無窮小上來了。

我們知道：自然數是連續的，實數是連續的，但實數比自然數更密集。從【影響2】的討論中，如果我們認為

△1是實數步進的“單位”

，那麼理髮師的曲線就變得可以描述了：

理髮師從時刻t，為不刮臉的狀態

t+1*

△1

，為刮臉的狀態

t+2*

△1

，為不刮臉的狀態

t+3*

△1

，為刮臉的狀態

。。。

所以理髮師的曲線畫不出來，不是因為不存在，而是存在，但“無限離散”，是以“單位”為步長的一系列的不斷變換而已。只不過“單位”無窮小，不足以用數軸上的兩個點的距離來定義它而已。如果勉強要畫，可以畫成這樣：

所以理髮師悖論，其實本身並不是悖論：理髮師可放心地為自己刮鬍子，有人質疑時，理髮師可以說：我是在無限次的狀態切換中完成的，所以並不違背規則。理髮師說的無限次，又一次突破了人類思維的‘直覺’而已。

從另一角度說：理髮師悖論，其實是“飛矢不動”悖論的升級版，這裡就不展開了。

邏輯過程與實際過程是有差異的，如芝諾悖論中阿基里斯追趕烏龜一樣。

這裡再一次說明：人類的邏輯過程極限被設計成為N級。

回過頭來看，理髮師悖論和羅素悖論

似乎不等價

。

羅素悖論的精確表述：如果存在一個集合A={x | x∉ x }，那麼A∈A是否成立？如果它成立，那麼A∈A，不滿足A的特徵性質。如果它不成立，A就滿足了特徵性質。

普遍認為，理髮師悖論與羅素悖論是等價的：如果把每個人看成一個集合，這個集合的元素被定義成這個人刮臉的物件。那麼，理髮師宣稱，他的元素，都是城裡不屬於自身的那些集合，並且城裡所有不屬於自身的集合都屬於他。那麼他是否屬於他自己？這樣就由理髮師悖論得到了羅素悖論。反過來的變換也是成立的。

另外還有，康托爾悖論：“所有集合的集合”就不成其為“所有集合的集合”。

在理髮師悖論中可以引入時間維度來說明，但羅素悖論不行。問題在什麼地方呢？

在討論理髮師悖論時，我們說理髮師的狀態是可以變動的，某一個時刻是固定的，休整上是一個運動狀態。這是因為“實際過程”壓制“邏輯過程”。在“邏輯運算”過程中是不考慮時間消耗的，現實過程是要考慮時間消耗的。

這跟另一個物理問題有著極大的關聯：時間是什麼，時間存在嗎？這裡不展開。

回來“邏輯過程”本身，邏輯過程是真的零時損耗嗎？如果它是零時損耗，那麼對於邏輯過程，只適合來描述“狀態”，而不合適來描述“過程”。我們分析一下康托爾悖論：

邏輯過程如下：

第一個產生的集合是空集，

第二個是集合是以第一個集合為元素的集合，

第三集合是以已存在的第一個和第二個集合為元素的集合，

第N集合是以已存在的N-1個集合為元素的集合，

。。。。

從這個過程中，我們可以發現關鍵詞是：“已存在”，“已存在”是邏輯推理的“動力”，也就是我們常說的“

必要條件

”，也是我們說的邏輯“

步進單位

”，那麼步進的累積就可以無限大，對於這個邏輯步進單位的無限大？我們的直覺又是怎麼處理的呢？承認“

已完成

”，如自然數集合完成了，才能構建出整數集合，有理數集合，實數集合。到了現在每一個學生一接觸實數集，它就是已存在的，已完成構建過程的，但學生並不一定真的可以理解什麼是實數，如果能把邏輯過程”重演“一次，那麼學生掌握的程度就會大大地加深。

再回到“

已完成

”，它是不是“

終極已完成

”？康托爾悖論就是承認“

終極已完成

”而產生的。所有集合的集合已存在，但元素和集合有著天然的壁壘，即元素不是集合，集合不是元素。所以康托爾自己用反證法證明了“所有集合的集合”不存在。

即“

已完成

”≠“

終極已完成

”。於是，邏輯的步進累積可以階段性完成，而不能終極完成，所以邏輯是有“時間損耗”的，有一些情況，時間損耗的累積是0，但有一些情況的損耗的累積不是0。

“所有的集合的集合”是一個邏輯時損不為0的情況，羅素導論中的“A={x | x∉ x }”，則是“所有集合的集合”的加強版“所有不包括自己的集合的集合”。

實際上，從語言學上，我們需要注意的“X的Y是Z”，這種命題，我們要承認命題的邏輯時損不一定為0，命題的邏輯時損由X，Y，Z的邏輯時損決定，只有X，Y，Z的邏輯時損為0時，命題的邏輯時損才是0，不然這個命題就是沒有邏輯結果的，即這個命題既不能被證明，也不能被證偽。

個人猜想9：

邏輯時損的理念與哥德爾的”不完備性定理“是一致的

，甚至是更廣泛普適的，如非公理系統。也與PC和NPC問題有著千絲萬縷的關係。

關於”步進“，“累加”和”邏輯時損，還可以表現在新興的數學分支——模糊數學上，谷堆悖論和禿頭悖論是一個開端：

谷堆悖論：一顆穀粒不能成為谷堆，但是很多穀粒就可以成為谷堆；同樣，從一個谷堆上拿走一顆穀粒，谷堆還是谷堆，那麼反覆不停地一顆一顆拿走，是否最後剩下的一顆穀粒也還是谷堆？

禿頭悖論：頭上長滿頭髮的人不是禿頭，拔掉一根頭髮也不是禿頭，但不停地拔卻能把他變為禿頭。

模糊數學使用了“隸屬度”的概念來描述，它與機率類似，是一個區間【0，1】。但這種描述只是將悖論的過程量化了，並把判斷交給設定合理的“隸屬度”的人而已，還不算真正地解決了悖論。

如果把堆谷堆的過程，畫一個“谷堆”的曲線，理論上應該如下：

但是那個值x，我們卻無法逼近，所以最終曲線也是

畫不出來

。因為一個穀粒的貢獻，在之達到x前都是被當作0的，但達到x時，每一個穀粒的貢獻就大於0了，而達到x後，每一個穀粒的貢獻又被當作0。這可比第二次數學危機中討論的無窮小更神奇。

哲學上稱為量變與質變的跳躍或湧現，一般的邏輯學稱“禿”，“堆”是形狀量詞，像米，克是數量詞，與形狀無關。

如下圖，可以說最少四顆穀粒就能構成“堆”，但一萬個米粒平鋪在地面上，我們也不能稱為堆。

換一個角度看：谷堆悖論的也可以透過“資訊缺失”或“維度缺失”來解釋，即米粒多少不能充分決定米粒是否能成堆。禿頭悖論貌似只由頭髮的數量來決定，但其實也不是，還有頭皮的面積，頭髮的長短，頭髮的粗細，觀察者的角度都可以影響我們作出“禿頭”的判斷。本質上說，這是真實世界與認知世界的差異導致的導論，在【影響7】中會部分地展開。

假如我們把問題的所有一切背景因素都設定好，再來討論禿頭悖論呢？仍然是以下的圖，x處於一個區間內，真正的問題在哪裡呢？在我們邏輯上認為的“所有一切背景”，並不是真的“所有”，即使是無限多個背景因素都被設計，但無限個只能是（N）級別，實際上存在（R）級別因素。

現實中比較接近這種情況是：化學中測試液體的PH值，給你一個試紙，和一個比色卡，憑藉肉眼估算試紙的顏色和比色卡上哪個色更接近。這在紡織業，化妝品行業也有類似的情況。即使人們將顏色也數字化後，然後很難區分什麼是紅色什麼是黃色，只能強行設立一個波長值為分界線。

如果我們再將顏色的問題反向思考，使用還原法，則可以知道為什麼達不到“真實”，具體見【影響7】。

從根本上來說：因為“形狀”量詞與

真實

有對應關係，和“數字”量詞，只與

邏輯過程

有對應關係。因為“形狀”量詞的概念產生過程本身是一個對“真實”資訊無限壓縮的過程（見【影響7】），我們直接使用時，如2瓶水，邏輯時損是0，但當我們要回到“真實”資訊無限壓縮的過程，邏輯的時損就不是0了，我們甚至不知道什麼時候“確認完成”。這和康托爾悖論是類似的。

再回到語言說上：“X的Y”中的X，我們一般稱為“屬性”，“狀態”，“維度”，但因為我們同時也會使用“均速直線運動的物體”，這種表述，這裡面的X可以有現實的時間概念影響，也可以有邏輯的時損影響，所以“X的Y”這種短語，從形式語言，圖靈機（如圖靈機不可判斷問題），機器學習，人工智慧等方面都有著深層的聯絡。

哲學上說，運動是絕對的，即使在邏輯領域也是如此。

【影響4】量子力學和測不準原理

量子力學源自黑體幅射和氫原子光譜；測不準原理，數學上來自矩陣運算的不可逆性。

但也可以借【影響3】的討論進行

發散性思維

的說明，可以思考一下以下問題：

1。理髮師在“刮鬍子”的過程中，是一直在刮鬍子，還是一直刮刮停停呢？

2。你可以知道理髮師某一個時刻的狀態，但你不知道它的下一個時刻的狀態是什麼？

現實中，下一個時刻真的存在嗎？按照量子力學的假設，是存在的，普朗克時間。這個時間計算的結果很小。但如果考慮到實數的連續性的單位的

△1

話，時間即是連續的，也是一份一份的，即量子化的，這本身並不衝突。

那麼普朗克時間是不是△1的一個近似值，量子力學的微觀力學和相對論的宏觀力學，是否就有可以橋接的地方了呢？

電子雲是一個非常難描述和理解的模型，可以思考一個問題：電子的運動是不是連續的？從量子力學的模型時，時間和空間上，都是不連續的，跳躍的，所以只能用機率來描述。

電子雲其實只是一個近似的畫法，電子出現在指定位置的時間機率，它是理髮師狀態曲線的一種升級和變形。

物理學四大神獸之一：薛定諤的貓，面臨的也是類似的情況。很多人解讀為：觀察者決定了貓的狀態，甚至說意識決定了物質。

貓任意一個時刻只能是生或死兩種狀態，貓在一個時刻是生，下一個時刻有兩種可能生或死，但貓在一個時刻死後，之後的任何時刻也是死的。貓的生命狀態曲線，也是畫不出來。

但與理髮師的狀態曲線，畫不出來，不代表它不存在。只要曲線存在，那麼貓就不會處於既生又死的狀態。貓的狀態由毒氣瓶的狀態決定，毒氣瓶的狀態由機關的狀態決定，機關的狀態由鐳的衰變決定，所以鐳的衰變曲線存在，那麼貓的生命狀態曲線就會存在。而鐳的衰變狀態，量子力學認為是衰變和沒有衰變兩種狀態的疊加。那麼鐳的衰變曲線存在嗎？

如果以普朗克時間為單位，那麼在一個普朗克時間的開始和結束的兩個時刻，鐳的衰變狀態是確定的，在普朗克時間的中間過程，鐳的衰變狀態是不確定的。量子力學的解釋類似於：不必思考比普朗克時間小的時間裡鐳的衰變狀態。這種解釋最詭異的事情是：即使不考慮比普朗克時間小的時間，但是要決定每一個比普朗克時間的開始和結束，非常困難，因為只有從0刻起，你才能找到每一個普朗克時間的開始和結束，這就要求貓，毒氣瓶，機關，鐳要有同一個“絕對的”時間起點和時間軸，不然它們之間的普朗克時間會形成錯位，也一樣可以導致”貓既死又活“的狀態出現，而這個絕對的時間軸是不是相對論所否定的？當把觀察者的時間軸也考慮進來，或者再加一個以接近光速的觀察者來看這個貓又會是如何的狀態？

但是如果按照

△1

為單位呢，又會發生什麼情況？本人智力和知識有限，只能停下。

【影響5】圓周率π的認識。

π的計算從幾何的割圓術到分析法，到電子計算機加入，它的計算包括了太多太多的故事。

如（引自百度百科）：

1965年，英國數學家約翰·沃利斯（John Wallis）出版了一本數學專著，其中他推匯出一個公式，發現圓周率等於無窮個分數相乘的積。2015年，羅切斯特大學的科學家們在氫原子能級的量子力學計算中發現了圓周率相同的公式 。

π是無理數，也是超越數，證明的過程很複雜，主要使用到泰勒級數，類似的討論在【影響2】中有所展開，這裡不繼續展開。

下面想討論一下：合取數。

合取數，定義為：包含所有數字組合的數。

一個典型的合取數是0。123456789101112131415……，該數叫做錢珀瑙恩常數，由英國統計學家Champernowne於1933年提出，這個數中就包含了一切數字組合，無論是你的銀行卡+密碼，還是你玩的遊戲存檔資料，都能在這個數中找到。

另外，我們把數字顯示出隨機分佈，且每個數字出現機會均等的實數，稱之為正規數，根據定義，如果一個數是正規數，那麼這個數肯定也是合取數。

有趣的是，一個數的正規與否，還和進位制有關，數學家發現，有些數在十進位制下是正規數，但在六進位制下就成了非正規數，對於所有進位制下都正規的數，我們稱之為絕對正規數。

數字組合，是一個長度有限的數字，把所有長度有限的數字按照一定的方式拼接在一起就能得到一個合取數。排序拼接是第一種方式，如錢珀瑙恩常數。集合是無序的，自然數集N，把N中的元素以各種可能的順序拼接在一起所形成的數的集合為合取數。順序的可能性，即是我們常說的”排列“運算有關。

如3個數的排列可能性為3！=6種。

對於自然數的排列可能性（N）！=（R），（N）表示自然數的個數，（R）表示實數的個數，這已被證明。

但這個問題還可以從語言學的角度看，如無限猴子猜想。

根據維基百科資訊，2000年時，數學家“證明”了二進位制下的圓周率π是正規性數，該證明由一個有關混沌理論的合理猜想匯出，但該猜想尚未被完全證明。

1909年，一本名為《為未來競爭》的書籍中，談到這麼一個有趣的“實驗”——無限猴子定律。

其中一種描述為：一隻猴子坐在電腦桌前，隨機敲著鍵盤，只要給它無限的時間，它就能敲出一本完整的《哈姆雷特》，甚至可以是任何文章。

可以把猴子的鍵盤做一個替換，換成是0-9的數字鍵盤。那麼猴子是否就可以打出任意一個自然數呢？

1956年，N。喬姆斯基發表了用形式語言方法研究自然語言的第一篇文章。他對語言的定義方法是：給定一組符號（一般是有限多個），稱為字母表，以∑表之。又以∑*表示由∑中字母組成的所有符號串（或稱字，也包括空字）的集合。則∑*的每個子集都是∑上的一個語言。例如，若令∑為26個拉丁字母加上空格和標點符號，則每個英語句子都是∑*中的一個元素，所有合法的英語句子的集合是∑*的一個子集，它構成一個語言。

本人將問題作兩個轉換（不知道是否嚴格等價）：

假設把每一個自然數都做成一個按扭，然後把這些按扭放在一個無限大的籃子裡面，一個猴子坐在一條生線上，這是一條無限長的皮帶，猴子負責把籃子中的按扭拿出來，然後按拿出來的順序釘在皮帶上。這樣一個猴子就可以產生一個合取數。

我們提供無數個這種生產線，只要足夠多，剔除了相同的合取數後，我們仍可多到可以產生所有的合取數。

我們是否要根據“不動點”定理得到任意的兩個猴子，在相同的位置上，釘下來相同的自然N呢？如果成立，是否就可轉化成不用無數猴子做一次，而只要一個猴子做無數次呢？

假設數軸上有一個區間【0，1】，我們知道這個線段上的點是無窮多個，而且比自然數的無窮多個還要多。猴子不斷地從這個區間中取一個數扔掉，猴子最終是可以把整個區間的數都扔完的。而在這個過程中，我們假設猴子扔出來的數是1/n時，我們把n放在一條皮帶上，那麼這個猴子，只要有足夠長的時間，也是可以把所有的N放在皮帶上的。

我們再假設，其實我們已經準備了無限條皮帶，當n放在第一條皮帶時，第麼第二條皮帶就放n+1，第三條皮帶就放n+2，如此類推，另外我們再加n-1倍（N）條的皮帶，把每一條皮帶已有的部分先複製n-1份，然後再分別追加存放1到n-1。

這樣是否一個猴子在產生一個合取數的同時，也就產生了所有的合取數呢？

本人相信：透過上述的轉換，將無限問題，轉為組合問題，再利用證明布豐投針問題的機率值是 1/π的相關思想和技巧，應該可以證明π是合取數，甚至可能是任意進位制數下的合取數。

π是合取數，與π的泰勒展開，以及沃利斯的連分數表示式有著深層的本質上的一致性。

尤拉公式e^iπ +1=0，除了e，i，π，剩下是0，1，這兩個是任何進位制數都是必要的元素，如果π是合取數，那麼可能e也是合取數，那樣才是真正的“自然常數”。

為什麼沒有最小的是2進位制數？因為1進位制是0壓縮率的記法，關於壓縮在影響【7】有討論。

【影響6】化學元素週期表

已知化學元素週期表中有一百多種元素，但理論上應該存在在更多的，甚至是無數種化學元素，而這無數種化學元素，在人的邏輯理念中，最多隻能達到（N）的級別，真實的宇宙或世界是否可以存在（R）個質子的“超級元素”，哪怕這個超級元素的穩定時間接近於或等於0？

腦洞一下

：物理學中的宇宙大爆炸是否與超級元素有關？

類似的，有機物的分子構成有無限種可能，單質或混合物的數量也是無限種可能。那麼所謂的“提純”與24K黃金的意義的真實本質是什麼？

【影響7】還原論，奧卡姆剃刀原則，證偽主義，《道德經》

二分法在古代文明中有所表述：

一尺之捶，日取其半，萬世不竭。

我們換個角度，把日取其半的部分再拼接起來，是否可以得到原來的一尺之捶呢？

也許日取其半，會讓人感覺緩慢，但如果換成日取九成呢？正是“0。9。。。”（其實二分法，如果轉為二進位制數是：“0。1。。。”是類似的）。

正如上文提到的

0.9...(N)<1，0.9...(R)=1

，人將取下來的部分再拼接回，這個拼的動作可以進行多少次？

個人認為：在

有條件的現實

中，人是可以做到（R）的級別的；在

邏輯認知過程

中，人是隻可以做到（N）的級別。

所謂在

有條件的現實

中，可以打個比方：理想化的圖靈機，它有無限的能量，無限長的紙帶。但這裡的無限是（N）級還是（R）級，個人猜測當年圖靈的腦裡只是（N）級，但理想化得更“徹底”，應該是（R）級，於是才能影響圖靈機的算力從（N）級提升到（R）級。對於人拼接也一樣，假設給的食物讓人能活（N）級天，還是（R）級天？能達到（R）級天，人就能將取下來的部分組合成原來的一尺之捶，正如現實中的阿基里斯是肯定可以追上烏龜一樣。

在

邏輯認知過程

中，一個人只要投入一個邏輯運算過程，如數數，1，2，3，4 。。。 ，那麼人的邏輯就沒辦法“完成”這個過程，更達不到超出（N）而達到（R）。這就是計算機程式設計中說的“死迴圈”，永不結束。但人的意識是多核的，如同計算機CPU一樣，用一個核心去檢測另一個核心是否進入“死迴圈”，人的意識和邏輯也一樣，啟動另一個邏輯運算過程去“

承認

”剛剛的“

過程要繼續，中止或已經完成

”，而電腦

能做的選擇

是“過程要繼續，或中止”，無法自動作出“已經完成”的選擇，因為它真的沒有完成，此時就需要人的介入，如電腦管家軟體會提示“是否中止XXX程式”，人當然可以繼續用演算法模擬人做出這個選擇，但總有部分選擇要留給“人”，人工智慧可以很接近人，但畢竟不是人，這或許就是

人和人工智慧的根本區別

。

二分法和自然科學中使用的”還原論“是一致的。討論還原論，可以從元素論和原子論的簡史開始：

古代中國，氣一元論，即天地萬物即是一氣所生，元自一炁也。氣化其小無內，其大無外

西方第一位哲學家泰勒斯（約公元前625-547）認為宇宙萬物都是由水這種基本元素構成的。

氣元素：泰勒斯的學生阿那克西曼德（約公元前610－546）認為基本元素不可能是水，而是某種不明確的無限物質。阿那克西曼德的學生阿那克西美尼（約公元前585－525）進一步解析到基本元素是氣，氣稀釋成了火，濃縮則成了風，風濃縮成了雲，雲濃縮成了水，水濃縮成了石頭，然後由這一切構成了萬物。

火元素：赫拉克利特（約公元前535－475）認為萬物由火而生，所以永遠處於變化之中。

土元素及四元素說的形成：恩培多克勒（約公元前490-430），綜合了前人的看法，再新增“土”，遂有水、氣、火、土四元素。

四元素形象化（象數派）：柏拉圖（公元前427－347）將四元素形象化，用幾何觀點看待，認為組成四元素的原子形狀分別是體現其性質的一種正多面體。正多面體共有5種，還剩下一種正十二面體沒有元素可與之對應，柏拉圖說它是神用來排列天空的星座的。

四元素說的發展：柏拉圖的學生亞里士多德（公元前384－322）認為組成天體的元素與地球不同，是純粹的“以太”，是第五元素，對應於正十二面體。亞里斯多德在他老師四元素幾何化的基礎上，將四元素說發展成為一種體系。這個思想體系有效的支撐了地心說。

德謨克利特探討了物質結構的問題，提出了原子論的思想。他認為萬物的本原是原子和虛空。原子是一種最後的不可分割的物質微粒，它的基本屬性是“充實性”，每個原子都是毫無空隙的。原子的數目是無窮的，它們之間沒有性質的區別，只有形狀、體積和序列的不同。運動是原子固有的屬性 。原子永遠運動於無限的虛空之中，它們互相結合起來，就產生了各種不同的複合物。

由道爾頓引進的原子學說是科學發展上最重要的里程碑之一。道爾頓使物質由原子組成這一概念成為現實的、有用假說的。他給元素指定符號並將符號結合起來成為化合物。按照道爾頓的假說，元素是由原子組成的，同一種元素的所有原子都相同。並且說化合物是由一定數目的某一元素的原子與一定數目的另一元素的原子化合而成（或一般說來是由兩種或兩種以上元素的原子各按一定數目化合而成）。這樣就對物質不滅定律和定比定律作出了簡明解釋。道爾頓還提出另一定律 倍比定律。該定律表明：當兩種元素化合物形成一種以上化合物時，則與同一重量甲元素化合的乙元素，在各種化合物中的重量比，形成簡單整數。

東西方都有類似的元素說起源，氣一元論，和水元素說，但後來的發展就不同了。

西方把一種元素“

分

”為不相同的元素，並讓他們互不相同；一種是將空間“

分

”為不能想交的部分；道爾頓的原子論是把前面兩者

結合

起來，先承認了空間上的“

分

”法，產生原子，又引入自然數來“

分

”產生元素。值得注意的是，西方傳統的所有分法，都要求

互不相同

。這樣必然會導致與二分法一樣的結果：人類在不斷地切割物體的同時，說“

稍後

“再拼接起來就行了。即使我們把”

稍後

“忽略，人類能做的切割和和拼接能做到（N）級還是（R）級？

當然

真實

的世界是（N）級還是（R）級，我們還不知道。但個人可以提供一個角度：

曆法

。只要人類歷史只要還使用公元XXX年，或人類紀元XXX年，那麼人類的歷史就是就是（N）級的，也就是說切割都完成不了，更不要說拼接了，更何況“

稍後

“並不為0。

腦洞一下：從曆法這個角度，所有末日預言是不是都應該否認？或者人類會發明新型的”實數型“曆法？還有正如相對論中任何兩個物體的時鐘不一樣，新型的”相對“曆法。最後還能否綜合成為”實數相對“曆法？

哲學家和科學家一直討論的還原論的真正問題是落實在：

事物分割允許的無限性，要比理論上人所能還原的無限性要大得多。

疊加科學的另一個基礎邏輯原則：奧卡姆剃刀原則，它會盡量地延長”

稍後

“的長度，那麼理認上人所能還原的無限性會進一步地縮小，而這個原則帶來的好處也是顯而易見的：科學的理論都會保持儘可能的”苗條“。

那麼科學的這個難題還是否有破解之法？有，其實也很簡單，引入一個或多個新的”還原論“，並建立足夠的”跨理論“學科，即”跨理論“的理論。簡單地說，一個西瓜不只一種切法，如果你使用一一種切法，拼不回來原來的西瓜，那麼用兩種不同切法，允許兩種切法得到的塊有

”共同的部分“

，把所有塊都”加“起來，注意

不能

引入一個減去

”共同的部分“的過程

，就可以得到原來的西瓜。

我們回頭看看中國的發展。既沒有引入”互不相交“的空間，也沒引入”互不相同“的自然數。氣一直保持其”跨空間尺度“，跨”數量尺度“的特點，古代先賢先後引入了”陰陽“和”五行“。陰陽類似於二分法，但它不是針對”空間“，它是

一類

”切法“的總稱，具體的切法有：空間的陰陽如山陰和山陽，時間的陰陽如晝陽夜陰，數字的陰陽，運動的陰陽如上升為陽下降為陰等等，陰陽是其實更像一個“切法”的設計原則，只要人可以觀察到或發掘出一個新的維度，那麼馬上就可以進行陰陽的切割。五行類似於陰陽，五色，五音，五味等等。陰陽五行是兩種“切法”的設計原則，在這兩個原則指導下，人類要認知一個事物，就可以用”已知的維度“來指導切割，再拼結認識，如果仍有”未知“，那麼可以有兩種選擇：一是在某一個維度下進行迭代切割，如空間，一座房子所處位置山陽，但各個房間又可以再分五行，這和科學的還原法類似；二是觀察或發掘新的“維度”，只要有新的維度，或子維度，就能補充資訊，就可以還原一個更“真實”的事物。

不執著於單一維度的切割

是中國古代文化中認識論的一個特點，宋代理學，朱熹等大儒提的“格物致知”更是有意無意地這個觀念推向極端，讓學者迷失的

“無限的維度”

之中。這也是本人對《中國科技史》李約瑟提出的“

李約瑟之謎

”的一個回答。同時現代科學按照還原論的指導，最終也要迷失在

“無限的尺度和精度”

之中。

不過認知論的歷史程序還是有其必然性，該來的，還是要來，現在時下流行的“資料發掘和分析”，“人工智慧”，分析師和演算法師們正慢慢進入發掘維度的快車道，創造出來的維度將會越來越多，人類還是要將要進入一個“維度迷失”的時期，之到時期的長短，可能要取決於新的“科學觀”的建立和普及了。

總之，要認識到一個真實的事物，保持它的“整體性”很重要，而保持整體性的手段有目前只有一種：兩種以上獨立的切割方法。切割方法和手段總容易被人濫用，如還原法，如程朱理學，這就是本人的整體論觀。

回過頭看，採用還原論方式進行研究的粒子物理學，永遠都只是一個近似值，而不是一個真實值。這與最近一段時間關於中國是否要建高能粒子對撞機的話題有關，正如楊振寧說：

用對撞機研究高能物理的盛宴已過

。因為

“稍後”

在此刻還沒完成，提前切割，意義不大。

那麼以物理為基礎的化學，以化學為基礎的生物學，以生物學為基礎的現代醫學，都可以說從學科的一起步，也就是第一性原理的規定下，就出現失真。

網路上關於中醫和西醫的討論很多，從“分法”論上，中醫是可以作為和西醫完全不同的理論系統，對我們認識人體進行補充，讓我們

儘快

認識完整的人體，這需要保持中醫理論的獨立性。可惜很多人都在討論“廢醫驗藥”，這種消滅中醫的手段。

當然，再回過頭來思考：

真實

的世界是（N）級還是（R）級，我們還不知道，如果如量子力學說的那樣，那麼真實的世界是（N）級。

個人還是傾向於真實的世界是(R)級或者更高，【如果存在更高】

，不然人的認知，包括產生實數概念都要全面“退化”，因為認識“超越”了現實，而我們每個人都“

相信

”認知的級別只能

小於或等於

現實，所有哲學家都是在討論能不能等於，而不是大於。

腦洞一下：假設人的認知是可以超越現實的（就如有人腦洞物體運動速度超過光速），那會發生什麼情況？人的認識會可以轉移到新的載體，人可以設計人，人可以設計宇宙，人可以成為神。

電影《頭文字D》中有一句經典的臺詞：其實神也是人，只是神做到了人做不到的事情，所以成了神。

回到當下的邏輯或哲學（

真實的世界是(R)級

），可以說：任何一個整體，即使採用無限的分割，不一定可以能累加成為原來的整體，特別是考慮到“累加”的行為的現實性，每一個人按一天疊加一次，人的壽命無限長，一個人也只能是疊加N次，而所有的人，70億，80億人，一齊累加，也仍然達不到原來的整體。

自科學產生巨大的影響力後，人們對科學的思考就沒有停止過，無論是定義科學還是質疑科學，希望分清科學和非科學的界線。證偽主義把科學定義為可證偽的，然後任何一個學科當前的理論也是必然能被證偽的，也必然要被證偽的。那麼我們還需要科學嗎？

按照”分法“理論，只用一種切法，是永遠得到真正的科學的，正如證偽主義被迪昂-蒯因問題所質疑。如果進一步推廣：唯物論，唯心論，二元論都不可能還原出一個正實的世界。

人認識世界以概念為開端，第一批概念都是從真實世界中來的，與真實的世界中的事物對應，如原始人甲說：有一隻狼，現實中是有狼對應的，後面才產生了各種抽象的概念。這是我們再習以為常的事情了，但是老子卻不這麼認為：

道可道，非常道，名可名，非常名。

簡單的12個字被無數人解讀過，本人也作一個解讀：

世界本就是世界，混然一體，人們從創造“狼”這樣的詞開始，將世界劃分為一個個的概念，很多概念一開始都認為邊界是清晰的，狼就是狼，但後來發現不是，任何一個概念的邊界必須模糊化，因為狼指代了昨天的那隻，就不能指代今天的這隻了。如果不斷地建立概念，而

每一個概念都只用一次

的話，那麼人類的大腦是不夠用的，人類也是不可能有所謂的文化傳承的，其本質上是資訊的壓縮。所以老子認為“常名”，即平常使用的概念，都是有很強的侷限性，這種侷限性，就是無法與現實產生邊界清晰的對應，而且即使產生了對邊界清晰的對應，那麼人類所能認識的事物個數即使是無限的，但人類從世界劃分概念的行為開始，這種邏輯過程最終能導致的就是（N）級別的事物，離真實的世界還差

一點點

。真實世界是由道在推動的，而認知的世界是由名在推動的，認知的世界永遠無法等於真實世界，缺失的那

一點點

，老子稱為“無”，而“

有生於無

”。

上面提到

概念是人對現實世界的一種壓縮後資訊

，人不是第一個壓縮資訊的事物，更早的應該是原始生命，如我們說DNA是細胞的遺傳資訊的主要載體。多細胞生物的出現，器官分化出現，生物變得越來越複雜，那麼其處理的資訊量也越來越多，而人類的出現，也是進一步拔高了資訊處理的量級。人類的意識如何產生，和生物學的寒武紀大部爆一樣的”神秘“，但其實在【影響3】中的谷堆悖論裡有部分展開。

抽象概念是聖概念的進一步壓縮，接著抽象的抽象，目前個人認為最能體現資訊壓縮的程度的概念是尤拉公式，畢達哥拉斯學派推崇自然數，物理界推崇麥克斯韋方程組。

而面對資訊的壓縮，必須有正確的解壓方式才行，現代社會的分工，就類似將各種解壓演算法教會某一崗位的人，不同的崗位有不同的職責，通才已經不可能再出現，但交差學科的出現，也正表明了對這種趨勢的質疑。而中國傳統文化正是帶著這種”交差“性，慢慢地隨著中國的重新崛起，而重回到世人的面前，正如古希臘文化在沉寂千年後，又屍變回到世人面前，引發文藝復興和啟蒙運動一樣，不過歷史正在進行中，無人敢冠以一個名詞，而統一稱為中國特色的道路。

中國文化雖經過百年沉寂，但他畢竟已經融入中國人的骨髓，它在全面學習西方科學的同時，也在實踐領域深深地重構著西方科學的短板，才有了中國崛起的奇蹟。只是隨著”學習西方“的口號進一步深入，社會的分工制度和教育制度等因素的影響下，中國傳統文化的壓縮方式，現代人正大量缺失了正確的解壓方式，一味地使”現代科學“的解壓方式，得到

亂碼

後，都要將古代文化歸為玄學。如果現代社會不作出調整，可以預見中國傳統文化也只能以

“屍變”

的方式迴歸中國。何為屍變？透過翻譯其他語言的版本，重新翻譯成為中文。

網路上流傳著一種“用科學理論去否定傳統文化經驗（包括中醫）”的風氣，聯絡“分法”的思維，個人提出一個原則：

經驗只能被經驗替代。

思維只能被思維替代。

技術只能被技術替代。

理論只能被理論替代或否定。

替代或否定的必要條件是：它們使用“相同或等效的切割方法”。

經驗和經驗可以共存。

思維和思維可以共存。

技術和技術可以共存。

理論和理論可以共存。

共存的必要條件是：它們使用“不同切割方法”。

即“跨層次打壓”是不合理的。

本體論，認知論，語言論是西方哲學的三個重要階段，是《道德經》中的智慧，是後人（如我）的過度解讀還是先賢的高精尖（這裡不使用“超前”，因為認識世界的問題一樣存在，只是東西方把握和切入的方法不同）創造呢？老子作為圖書館管理員，掌握當時最高精尖全的資訊，個人認為這是他的智慧創造的一個重要基礎，而現代人，可能更習慣了吸納海量的低密度的資訊，但壓縮出來的成果甚少，俗稱快餐文化。

最後順便提一下《易經》，八卦是一個特別的符號系統，後來還推廣出六十四卦，與陰陽五行的概念一樣，可以認為是先賢將他所看到的現實，以高度壓縮的方式，壓縮排入卦象符號之中，這種高度的壓縮以至於後人沒有一個人找到正確的解壓方式，如果反過來看，則是任何一個人的解壓方式都能從這個符號系統中解壓出“有用的資訊”，最基礎的元素是爻，分陰陽，一卦三爻，為什麼是三爻？因為它有“中”，即它同時體現了陰陽和中庸的思維，這或許就是它被稱為“群經之首”的原因。從“分割”角看它，他提供了兩種獨立的分割方法，也是符合“整體論”的。陰陽五行平衡（中庸），是中醫的核心，本質上來說提供了三種獨立的分割方法，也是符合“整體論”的。

【影響8】生物學和醫學

生命的形式是否只有細胞一種？或細胞和病毒兩種？生物學最重要的一個結論：生命樹，按域界門綱目科屬種的方式把生命定位在樹上，但分類的標準是以細胞結構或器官結構的”屬性“為特徵標籤的，為了應對一些區分模糊的生物，又需要設定亞科，亞屬，亞種。人類分為白種人，黃種人，黑種人，棕色人種等就是亞種。但生命樹真的能穩定嗎？新的物種會被發現，或新的物種會演化出來嗎？

人體是細胞的集合，但是人體又離不開體內的細菌，離不開環境，那麼人到底是什麼？人生病到底是不是可以用解剖學來解決，窮盡器官，窮盡組織，窮盡細胞，窮盡蛋白質，窮盡基因，窮盡DNA的方式來達到？現代醫學仍在這條路上不斷地奔跑。

現代醫學還有現兩個方向也是一直在奔跑：一是疾病的命名和分類，與生命樹類似；二是製藥，臨床實驗，大樣本隨機雙盲實驗都是藥品上市的門檻。

【影響9】降維打擊，維度

康托爾成功的證明了一條直線上的點可以和平面上的點意義對應，甚至也可以和空間中的點一一對應，最終一釐米長的線段中的點和地球內部的點一樣多。

一條曲線可以鋪滿一個平面，也可以填滿一個空間。

分形學裡：有限的面積下，可以產生一條無限長度的曲線。

網路上也很多人在討論升維和降維，如劉豐教授。

那麼科幻小說中的”降維“打擊還是必然的嗎？是不是可以發生”升維“打擊？

資料分析和人工智慧領域，以維度的數量為”重點指標“，維度越多，越接近真實，但當維度越向於無窮大時，真的就可以是真實了嗎？顯然，透過數學歸納法得到的多維度的規律和認知是有效的，但它還不能達到真實。

影響還有很多，本人是寫不完的了。

面對“無限大”，“無數多”，我們也許直面可以得到更多的力量——邏輯的力量。

後記：花了整整3天時間整理，遠超原計劃的1天時間。希望本文能對一些人提供一點思路。2020-1-31