最近，著名數學家丘成桐先生寫了一部內容很豐富的自傳《我的幾何人生》。丘成桐先生在這部自傳中，比較詳細地回顧了自己一生的學習、研究和工作的主要經歷，讓我們瞭解了他是怎樣從一名數學系的學生成長為一位舉世聞名的數學大師的。該書中同時也展現了上世紀後半葉現代幾何學發展過程中的許多重要場景和事實，由此可以

增加我們對於極其抽象的現代數學的理解與感悟。

這部自傳在提供了丘成桐先生個人所積累的一些寶貴的人生經驗的同時，還講述了國內外數學界的許多趣聞逸事，讀來收穫頗豐。

圖1：《我的幾何人生》封面

丘成桐先生目前擔任的主要職務是清華大學丘成桐數學科學中心主任，他是第一位獲得菲爾茲獎、第二位獲得沃爾夫獎的華人數學家（第一位獲得沃爾夫獎的華人數學家是陳省身先生）。在1983年于波蘭華沙召開的第十九屆國際數學家大會上，34歲的丘成桐先生因為證明了幾何分析中的卡拉比猜想、正質量猜想、以及其他一些重要猜想而被授予菲爾茲獎。在2010年，61歲的丘成桐先生因為他“在幾何分析的工作對幾何學和物理學的許多領域產生了深刻和戲劇性的影響”而獲得了沃爾夫獎。在沃爾夫獎的頒獎詞中這樣說道：

“

“丘成桐用一種新的方式將偏微分方程、幾何學、數學物理這三個分支聯絡在一起，從而全面規劃了幾何分析這一新領域。他發展了全新的分析方法，用來求解了幾個很困難的非線性偏微分方程，特別是Monge-Ampère型偏微分方程，這些新的分析方法對於黎曼幾何、凱勒幾何、代數幾何及代數拓撲的發展來說是至關重要的，它們迅速改變了這些分支的面貌。”

”

圖2：上世紀90年代的陳省身先生與丘成桐先生，圖片來自網路

在中國科學院數學研究所編寫的介紹現代數學發展和數學所現狀的《數學的樂園》（科學出版社2014年）一書中，對幾何分析這一新領域是這樣介紹的：

“

“幾何分析是微分方程、非線性分析、微分幾何與拓撲學的交叉學科，其目的是解決流形上的幾何與拓撲問題。現代幾何分析最早可以追溯到：Morse理論及其在測地線問題中的應用（20世紀20年代）；Hodge理論以及Douglas-Rado關於極小曲面Plateau問題的研究（20世紀30年代）。然而直到20世紀60、70年代幾何分析才有了堅實的基礎，因為此時期線性偏微分方程的理論相對成熟，而流形上的非線性分析（當時稱為global analysis）也蓬勃發展，特別是變分方法和熱流方法的研究開始成為熱點。20世紀60年代幾何分析的著名代表性工作包括Atiyah-Singer指標定理、Eells-Sampson關於調和對映的工作。

Atiyah-Singer指標定理是20世紀數學的偉大成就之一，此定理揭示了分析與拓撲之間的深刻聯絡。這個定理預示著分析學在微分幾何中的應用將日益廣泛和深入，進而相互交融。20世紀中葉微分幾何所展現的勃勃生機吸引了比以往任何時候都多的青年才俊加入其研究行列，到了70年代，一批數學家開始用偏微分方程的理論來研究微分幾何中產生的偏微分方程，他們研究了流形上的函式論、流形的特徵值、典則度量的存在性及極小曲面與極小子流形等問題並獲得前所未有的巨大進展，得到了一批令幾何學家激動人心和倍受鼓舞的結果。尤其令人印象深刻的是丘成桐證明了卡拉比猜想，……”

”

丘成桐先生就是在幾何分析這個領域大發展的背景下，在上世紀70年代初加入到數學研究的隊伍中來的。

在丘成桐先生的這部自傳中，

第一章“童年顛沛”講他從1949年出生到初中畢業的成長經歷，

第二章“何去何從”講他在高中與大學的學習經歷，

第三章“初履北美”主要講丘成桐先生在美國伯克利加州大學讀研究生的經歷，

第四章“仰望卡峰”和第五章“高峰挺進”講他在斯坦福大學和洛杉磯加州大學（即書中所說的UCLA）等幾個大學工作時，用長達六年的時間證明卡拉比猜想的過程，

第六章“故里難通”和第七章“斯年堪紀”主要講他證明正質量猜想的過程以及在1979年第一次回中國交流訪問的經歷，

第八章“弦籌共融”主要講卡拉比-丘（成桐）流形被應用於理論物理學中的弦理論的過程，

第九章“適彼樂土”主要講丘成桐先生在哈佛大學工作時研究映象對稱的經歷，

第十章“矢志興中”講他在世紀之交時回中國創辦晨興數學中心和籌辦北京國際數學家大會的經歷，

第十一章“龐氏餘波”主要是丘成桐先生澄清在數學界攻破著名的龐加萊猜想難題的過程中，自己所起到的促進作用，

第十二章“東風西風”是該書的最後一章，其中丘成桐先生談了他最近十多年來回國工作後的一些感想。

圖3：《我的幾何人生》封二對丘成桐先生的簡歷與成就的介紹

在該書的以上所有這些內容中，筆者比較感興趣的是第四、五章內講丘成桐先生怎樣證明卡拉比猜想的具體過程。這是因為對於幾何分析這一新領域的形成來說，卡拉比猜想的證明具有特別重要的意義。

卡拉比猜想是復微分幾何中關於凱勒流形的一個十分重要的猜想，它是由數學家卡拉比（Calabi）在1954年提出的。卡拉比猜想的內容主要涉及凱勒流形上的裡奇張量，該張量反映了凱勒流形的基本幾何性質，而凱勒流形是一種很重要的複流形，這種複流形不僅是黎曼流形對於複數世界的自然推廣，實際上也是性質非常好的黎曼面的高維推廣。因此不難理解凱勒流形必定具有非常豐富的幾何與拓撲性質，例如在代數幾何學中所研究的代數簇中有許多就是凱勒流形。

卡拉比猜想的具體內容簡單來說大致是這樣的：

對於緊凱勒流形上的每一個給定的閉（1，1）裡奇張量微分形式 ，一定可以在其所確定的第一陳（省身）類相關的度量中找到唯一的凱勒度量，使得該凱勒度量所決定的裡奇張量微分形式正好就是這個 。

卡拉比自己只能證明這個凱勒度量的唯一性，而要證明這種特殊度量的存在性問題，可以比較容易地歸結為求解下面這個復偏微分方程：

這裡的

表示相關

階矩陣的行列式，而

是該凱勒流形

的凱勒度量的各項係數函式，

是一個光滑函式，

是一個滿足與

及流形

有關的可積性條件的常數。

我們可以設想一下，如果

是一個10維流形，那麼上述方程中行列式的階數

，從而等式左邊的行列式中就有100個兩階偏導數，並且它們以一種非常複雜的方式組合在一起（即分成10組分別相乘後再相加）。

因此可以想象，上述這個被稱為“蒙日-安倍（Monge-Ampère）型”的偏微分方程（1）是一個高度非線性的偏微分方程。

這個極其艱難的證明該偏微分方程光滑解

的存在性任務，就是由丘成桐先生一個人在上世紀70年代獨立完成的。

圖4：20世紀70年代的丘成桐先生，圖片來自《20世紀數學經緯》（華東師範大學出版社）

其實據丘成桐先生的《我的幾何人生》詳細記載，

在剛接觸到卡拉比猜想時，丘成桐先生並不相信其正確性。他試圖用反證法來找到一個反例，以此來推翻卡拉比的猜想。

在1973年的上半年，丘成桐先生認為自己已經“差不多找到一個反例了”（該書96頁，下同），所以在該年8月的一次很重要的國際微分幾何研討會上非正式地報告了自己的發現。他敘述說：“到了研討會結束，大家都覺得我已經推翻了卡拉比猜想，於是各自散去。卡拉比和陳（省身）先生都認為我找到個很好的反例，卡拉比一點也不失望，差不多懸在心上二十年的大石頭終於放下來了，他的心情頓時輕鬆了”（101頁）。但是到了1973年的秋天，丘成桐先生說：

“

“我收到卡拉比寄來的一封信，信簡短而措辭得體。8月聽過我的演講後，他一直在想這個問題，深思之餘對某些方面還感迷惑，他希望我把思路扼要地寫下來，好教他更好地弄明白。對我來說，

卡拉比的信就如暮鼓晨鐘，把我驚醒了

”（106頁）。

”

丘成桐先生繼續說：

“

“我花了兩星期去證明卡拉比猜想不對，結果弄到差不多要掛掉了。到了此時，必須考慮這個希欽和我，還有許多人，都認為‘好到難以置信’的猜想或者是對的。

確是如此，過了一段日子後，我漸漸相信它是對的了。於是我做了一百八十度的轉變，傾注心力去證明卡拉比說的沒有錯

”（106頁）。

”

這些過程讀起來感覺是跌宕起伏。從1971年左右開始運用反證法考慮卡拉比猜想的問題，丘成桐先生到此時已經花去了近三年的時間。接下來丘成桐先生又用了三年的時間從正面來證明卡拉比的猜想，也就是證明上述那個高難度的蒙日-安倍方程（1）存在光滑解。

他說，這個蒙日-安倍方程“是整個猜想的巨大絆腳石。卡拉比提出這猜想二十年來，工作的進展甚為緩慢，其因在此”（110頁）。

丘成桐先生在書中還說，解決這類問題的策略是

“

“在於尋求一系列的近似解，近似的程度愈來愈精準，以至最後能收斂至真正的解。我希望同樣的方法可以應用於復蒙日-安倍方程，從而破解卡拉比猜想。證明這方程存在解，建立了卡拉比所設想的具特殊幾何性質的空間的存在性”（110頁）。

”

丘成桐先生在證明卡拉比猜想時，運用了許多數學方法，其中就包括了基本的復幾何、偏微分方程與泛函分析的方法，當然最基本的方法是一種近似逼近的方法，也就是透過構造一系列類似於蒙日-安倍方程（1）的偏微分方程，從而分別得到它們的一系列解，這些解形成了一個函式列，然後設法證明這個函式列一定會收斂到某一個函式 ，並且這個極限函式 正好就是蒙日-安倍方程（1）的解。而為了證明這個函式列是收斂的，以及它的極限函式 是光滑的，就必須要進行大量非常困難的

“先驗估計”

，即推導和運用眾多的不等式來對相關方程的解函式及其各階偏導數的大小來進行適當的估計和控制。丘成桐先生在自傳中非常通俗地解釋了他的這種證明方法：

“

“

我把整個證明分拆成四個不同的估計，那就是所謂零階、一階、二階和三階估計。

前面說過，蒙日-安倍方程的解是個函式，我們要做的乃是找出對這函式的界，說明它沿正的方向不能太大，沿負的方向不能太小，即是說，該函式不可能變成無限大。零階的估計說明函式的極大值能夠達到，一階估計則給出函式一次導數的大小。具體而言，必須證明一階導數的絕對值不會變得很大。換句話說，函式本身的振幅不能過大。類似地，二階估計有關函式的二階導數的最大絕對值，我們需要證明它是有界的，即一階導數不能有快速的振動。同樣的想法可用於三階或更高階的情況。這些高階的估計提供了函式如何變化的訊息，如變化有多大和多快等。

1974年時，我已經知道如何處理三階估計。到了1975年的夏天，我要到紐約前，成功匯出了二階估計。在柯朗所這幾個月，我在概念上想通了，原來有了零階和二階估計，就可以推匯出一階的估計。換句話說，整個證明就剩下一個估計，即零階估計。”（118頁）

”

這最後的一步“零階估計”一直要工作到1976年的下半年才得以完成。這樣，丘成桐先生終於把卡拉比猜想變成了卡拉比-丘（成桐）定理。接下來，丘成桐先生將整個證明卡拉比猜想的過程經過仔細的整理和檢查稽核後，寫成了兩篇論文正式發表。

第一篇論文的題目是“Calabi’s Conjecture and Some New Results in Algebraic Geometry（卡拉比猜想和代數幾何中的一些新結果）”，發表於1977年。這是一篇只有5頁的很短的論文，它的內容包含了6個定理，其中第一個定理就是卡拉比-丘定理。除了卡拉比-丘定理沒有給出證明外，其他的五個定理都是運用了卡拉比-丘定理來證明的，因此它們都是卡拉比-丘定理的推論。在這五個實際上屬於代數幾何的定理中，有兩個定理解決了長期懸而未決的大問題，因此在當時的代數幾何學界引起了轟動。

圖5：丘成桐先生寫的論文“Calabi’s Conjecture and Some New Results in Algebraic Geometry（卡拉比猜想和代數幾何中的一些新結果）”

在這篇論文中，第二個定理的大意是說：

在第一陳類為零的緊凱勒流形中，一定存在唯一的裡奇曲率為零的凱勒度量。

這個定理是透過將卡拉比-丘定理運用於第一陳類為零的情形而得到的。到了此時，由於已經證明了使得裡奇曲率為零的凱勒度量的存在性，所以數學家們自然就將具有這種特殊度量、並且第一陳類為零的凱勒流形命名為“卡拉比-丘流形”。後來的發展表明，這種新流形的幾何學在復幾何、代數幾何學與理論物理中都具有很重要的應用。例如目前在理論物理中所研究的弦理論是一種試圖統一自然界中所有的力（包括量子引力）的理論，而在弦理論中所用到的主要數學模型不是別的，正好就是卡拉比-丘流形。

丘成桐先生所寫的第二篇論文的題目是“On the Ricci Curvature of a Compact Kähler Manifold and the Complex Monge-Ampère Equation，I（關於緊凱勒流形的裡奇曲率與復蒙日-安倍方程I）”，發表於1978年。這是一篇長達61頁的論文，它的任務只有一個，那就是證明卡拉比-丘定理。這篇論文充滿了各種高難度的計算、估計和不等式，例如在進行三階估計時，丘成桐先生所作的複雜計算是這樣的：

圖6：丘成桐先生的論文“On the Ricci Curvature of a Compact Kähler Manifold and the Complex Monge-Ampère Equation，I（關於緊凱勒流形的裡奇曲率與復蒙日-安倍方程I）”中，在進行三階估計時的一頁

美國密西根大學數學系的季理真老師在三年前編了一本很好的英文書《Complex Geometry from Riemann to Kähler-Einstein and Calabi-Yau（從黎曼到凱勒-愛因斯坦和卡拉比-丘的復幾何）》（高等教育出版社2018年出版），其中包含了十多位數學大師在復幾何方面的奠基性原始論文、季理真老師寫的關於復幾何發展歷史的文章，以及丘成桐先生寫的關於數學和數學家的評論等十分豐富的內容。這十多位數學大師包括了黎曼、凱勒、陳省身、周煒良、卡拉比、小平邦彥、希策布魯赫、阿蒂亞、丘成桐和唐納森等人。丘成桐先生寫的上述這兩篇證明卡拉比猜想的論文也被收錄在了這本英文書中，使我們閱讀起來更加方便。

圖7：《Complex Geometry from Riemann to Kähler-Einstein and Calabi-Yau（從黎曼到凱勒-愛因斯坦和卡拉比-丘的復幾何》（高等教育出版社2018年出版）

下面用沃爾夫獎的頒獎詞中對丘成桐先生的一段評價來結束本文，它們很好地概括了丘成桐先生所作出的在證明卡拉比猜想以外的重要貢獻：

“

“人們將凱勒流形中一類很重要的流形稱為卡拉比－丘流形，它已經成為了弦理論的基石，而弦理論的目的在於試圖去理解：在一個高維空間內各種物理學意義上的力的作用最終是怎樣形成我們所處的四維時空世界的。丘教授關於T-對偶性的工作是映象對稱理論的一個重要組成部分，這項工作是將弦理論、代數幾何及辛幾何進行交叉發展而產生的。在解決了廣義相對論中的正質量猜想和正能量猜想問題的同時，他創造了強有力的分析工具和方法，它們能夠被廣泛地應用於關於時空的整體幾何學的研究中。

丘教授關於黎曼流形上的特徵值與熱核估計的研究工作被認為是流形上的分析中最為深刻的成就。他研究了極小曲面，並且解決了幾個經典問題，然後運用其中的成果開創了幾何拓撲學研究的一種嶄新方法。丘教授在過去的幾十年裡所取得的極其豐富的研究成果，推動了基礎數學、應用數學與理論物理等許多領域的發展。在獲得各種不同的重要數學成就、並且以此啟發了幾代數學家們的同時，丘教授還透過訓練數量極多的研究生和建立了幾個活躍的數學研究中心，對世界範圍內的數學研究產生了巨大的影響。”

”

圖8：《我的幾何人生》的封底中丘成桐先生的自我評價和學界對丘成桐先生的評價，在文字的下方還附有一個卡拉比-丘流形的幾何模型圖

圖9：丘成桐先生的出生地是廣東省梅州市的蕉嶺縣，這是前兩年新建的位於蕉嶺縣城公園內的卡拉比-丘流形的幾何模型雕塑，圖片來自網路

文稿|陳躍

編輯|朱善軍