當我第一次聽說存在著面積有限的無限形狀時，我感到相當震驚！我認為這是一個悖論。然而，當深入瞭解後，它不僅不是一個悖論，而且事實上，許多問題只有透過使用這些“無限的形狀”才能解決。

在學習微積分這一門課程時，我們首先了解的是極限的概念。在數學中，我們用極限來定義一些數學物件，如數列、導數和積分等。

極限

極限理論是微積分的核心概念。就像加法對算術的重要性和可除性對數論的重要性一樣，由於極限在積分的定義中起著重要作用，特別是在反常積分中，我認為有必要回顧一下什麼是極限。

一個實數數列接近一個數字L的極限，僅僅意味著這個數列會任意地接近L。無論有多接近L（即你選一個數字r，使|L-r|非常接近0），極限會在某一點上都會變得更接近。

這是一個非正式的描述。極限正式的定義在各種高數教科書和網路上都能找到，這裡就不寫出了。這裡有一些著名的極限例子。

積分

函式f從a到b的積分只是函式f的圖形與x軸之間從實數a到實數b的有向面積。我們所說的有向面積是指：位於x軸以下的區域，即f（x）

我們計算一個給定積分的方法也是透過使用極限。請注意，一個函式的曲線下的面積可以用一個細長方形的總和來近似。而透過將積分割槽間分成越來越細的矩形，我們就會越來越接近曲線下的準確面積。這可以透過下面的GIF圖來體現。

在極限情況下，當矩形的數量接近無窮大時，這個近似值就變得精確了，我們把這個極限定義為積分。

更準確地說，這種型別的積分被稱為黎曼積分，是以偉大的數學家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）的名字命名的。

反常積分積分

反常積分基本上是黎曼積分，在這個積分割槽間的兩個端點上函式都沒有定義。也就是說，如果f是一個定義在區間［a， b）上的函式，但對實數b沒有定義，並且如果存在以下極限：

則I被稱為反常積分，當區間為［a，∞）時，這也成立。下面是反常積分的一些應用。

例1

例如，假設f（x）=e^（-x），那麼我們可以計算出以下的積分：

也就是說，這個函式的曲線下的面積，儘管是無界的，但實際上是有限的。

例2

正態分佈涉及到一個可以在整條實線上取值的隨機變數，由於它是一個機率分佈，我們有：

其中σ是標準差，μ是平均值。這個積分也是一個反常積分，有時我們想知道，例如x≤c的機率是多少。為了計算這個問題，我們需要計算下面這個反常積分：

例3

伽馬函式是數學中最重要的函式之一。它被用於實分析、複分析、數論、物理學和許多其他學科中。

這個函式本身是由以下的反常積分定義的：

傅立葉變換

毫無疑問，傅立葉變換是科學中應用最廣泛的數學工具之一。該工具本身屬於積分變換和諧波分析的範疇，它有許多著名的“變種”，例如拉普拉斯變換。

變換是某個函式空間上的一個運算元。也就是說，它接受一個函式作為輸入，並返回一個函式作為輸出。很像微分運算元對函式進行微分，這個運算元只適用於某些函式。

一個函式f的傅立葉變換定義如下：

因此，這需要使用兩次反常積分的極限定義。

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