第2課時 等式性質與不等式性質
學 習 目 標
核 心 素 養
1。掌握不等式的性質．（重點）
2．能利用不等式的性質進行數或式的大小比較或不等式的證明．（難點）
3．透過類比等式與不等式的性質，探索兩者之間的共性與差異。
1。透過不等式性質的判斷與證明，培養邏輯推理能力．
2．藉助不等式性質求範圍問題，提升數學運算素養。
1．等式的性質
（1）
性質1 如果
a
＝
b
，那麼
b
＝
a
；
（2）
性質2 如果
a
＝
b
，
b
＝
c
，那麼
a
＝
c
；
（3）
性質3 如果
a
＝
b
，那麼
a
±
c
＝
b
±
c
；
（4） 性質4 如果
a
＝
b
，那麼
ac
＝
bc
；
（5） 性質5 如果
a
＝
b
，
c
≠0，那麼＝。
2．不等式的基本性質
（1）
對稱性：
a
＞
b
⇔
b
＜
a
。
（2）
傳遞性：
a
＞
b
，
b
＞
c
⇒
a
＞
c
。
（3）
可加性：
a
＞
b
⇔
a
＋
c
＞
b
＋
c
。
（4）可乘性：
a
＞
b
，
c
＞0⇒
ac
＞
bc
；
a
＞
b
，
c
＜0⇒
ac
＜
bc
。
（5）加法法則：
a
＞
b
，
c
＞
d
⇒
a
＋
c
＞
b
＋
d
。
（6）乘法法則：
a
＞
b
＞0，
c
＞
d
＞0⇒
ac
＞
bd
。
（7）乘方法則：
a
＞
b
＞0⇒
an
＞
bn
＞0（
n
∈
N
，
n
≥2）
．
1．若
a
＞
b
，
c
＞
d
，則下列不等關係中不一定成立的是（）
A．
a
－
b
＞
d
－
c
B．
a
＋
d
＞
b
＋
c
C．
a
－
c
＞
b
－
c
D．
a
－
c
＜
a
－
d
B
［
根據不等式的性質．］
2．與
a
>
b
等價的不等式是（）
A．|
a
|>|
b
| B．
a
2>
b
2
C。>1 D．
a
3>
b
3
D
［
可利用賦值法．令
a
＝－5，
b
＝0，則A、B正確而不滿足
a
>
b
。再令
a
＝－3，
b
＝－1，則C正確而不滿足
a
>
b
，故選D。］
3．設
x
<
a
<0，則下列不等式一定成立的是（）
A．
x
2<
ax
<
a
2 B．
x
2>
ax
>
a
2
C．
x
2<
a
2<
ax
D．
x
2>
a
2>
ax
B
［
∵
x
<
a
<0，∴
x
2>
a
2。∵
x
2－
ax
＝
x
（
x
－
a
）>0，∴
x
2>
ax
。又
ax
－
a
2＝
a
（
x
－
a
）>0，∴
ax
>
a
2。∴
x
2>
ax
>
a
2。］
利用不等式性質判斷命題真假
【例1】對於實數
a
，
b
，
c
下列命題中的真命題是（）
A．若
a
＞
b
，則
ac
2＞
bc
2
B．若
a
＞
b
＞0，則＞
C．若
a
＜
b
＜0，則＞
D．若
a
＞
b
，＞，則
a
＞0，
b
＜0
［思路點撥］本題可以利用不等式的性質直接判斷命題的真假，也可以採用特殊值法判斷．
D
［
法一：∵
c
2≥0，∴
c
＝0時，
有
ac
2＝
bc
2，故A為假命題；
由
a
＞
b
＞0，有
ab
＞0⇒＞⇒＞，
故B為假命題；
⇒＞，
故C為假命題；
ab
＜0。
∵
a
＞
b
，∴
a
＞0且
b
＜0，故D為真命題．
法二：特殊值排除法．
取
c
＝0，則
ac
2＝
bc
2，故A錯．
取
a
＝2，
b
＝1，則＝，＝1。
有＜，故B錯．取
a
＝－2，
b
＝－1，
則＝，＝2，有＜，故C錯．］
運用不等式的性質判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當然隨意捏造性質。解有關不等式選擇題時，也可採用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便於驗證計算。
1．下列命題正確的是（）
A．若
a
2＞
b
2，則
a
＞
b
B．若＞，則
a
＜
b
C．若
ac
＞
bc
，則
a
＞
b
D．若＜，則
a
＜
b
D
［
A錯，例如（－3）2＞22；B錯，例如＞；C錯，例如當
c
＝－2，
a
＝－3，
b
＝2時，有
ac
＞
bc
，但
a
＜
b
。］
利用不等式性質證明簡單不等式
【例2】若
a
＞
b
＞0，
c
＜
d
＜0，
e
＜0，求證：＞。
［思路點撥］可結合不等式的基本性質，分析所證不等式的結構，有理有據地匯出證明結果．
［證明］
∵
c
＜
d
＜0，∴－
c
＞－
d
＞0。
又∵
a
＞
b
＞0，∴
a
－
c
＞
b
－
d
＞0。
∴（
a
－
c
）2＞（
b
－
d
）2＞0。
兩邊同乘以，
得＜。
又
e
＜0，∴＞。
本例條件不變的情況下，求證：＞。
［證明］
∵
c
＜
d
＜0，∴－
c
＞－
d
＞0。
∵
a
＞
b
＞0，∴
a
－
c
＞
b
－
d
＞0，
∴0＜＜，
又∵
e
＜0，∴＞。
利用不等式的性質證明不等式注意事項
（1）利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式。解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不等式的性質並注意在解題中靈活準確地加以應用。
（2）應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則。
2．已知
a
>
b
，
e
>
f
，
c
>0，求證：
f
－
ac
<
e
－
bc
。
［證明］
∵
a
>
b
，
c
>0，∴
ac
>
bc
。
又∵
e
>
f
，∴
e
＋
ac
>
f
＋
bc
，
∴
e
－
bc
>
f
－
ac
，∴
f
－
ac
<
e
－
bc
。
不等式性質的應用
［探究問題］
1．小明同學做題時進行如下變形：
∵2<
b
<3，
∴<<，
又∵－6<
a
<8，
∴－2<<4。
你認為正確嗎？為什麼？
提示：
不正確．因為不等式兩邊同乘以一個正數，不等號的方向不變，但同乘以一個負數，不等號方向改變，在本題中只知道－6<
a
<8。不明確
a
值的正負．故不能將<<與－6<
a
<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數的同向不等式才能分別相乘．
2．由－6<
a
<8，－4<
b
<2，兩邊分別相減得－2<
a
－
b
<6，你認為正確嗎？
提示：
不正確．因為同向不等式具有可加性．但不能相減，解題時要充分利用條件，運用不等式的性質進行等價變形，而不可隨意“創造”性質．
3．你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？
∵2<
a
－
b
<4，
∴－4<
b
－
a
<－2。
又∵－2<
a
＋
b
<2，
∴0<
a
<3，－3<
b
<0，
∴－3<
a
＋
b
<3。
這怎麼與－2<
a
＋
b
<2矛盾了呢？
提示：
利用幾個不等式的範圍來確定某不等式的範圍要注意：同向不等式兩邊可以相加（相乘），這種轉化不是等價變形．本題中將2<
a
－
b
<4與－2<
a
＋
b
<2兩邊相加得0<
a
<3，又將－4<
b
－
a
<－2與－2<
a
＋
b
<2兩邊相加得出－3<
b
<0，又將該式與0<
a
<3兩邊相加得出－3<
a
＋
b
<3，多次使用了這種轉化，導致了
a
＋
b
範圍的擴大．
【例3】已知1＜
a
＜4，2＜
b
＜8，試求
a
－
b
與的取值範圍．
［思路點撥］依據不等式的性質，找到－
b
與的範圍，進而求出
a
－
b
與的取值範圍．
［解］
因為1＜
a
＜4，2＜
b
＜8，
所以－8＜－
b
＜－2。
所以1－8＜
a
－
b
＜4－2，
即－7＜
a
－
b
＜2。
又因為＜＜，所以＜＜＝2，
即＜＜2。
求含字母的數（或式子）的取值範圍時，一要注意題設中的條件，二要正確使用不等式的性質，尤其是兩個同方向的不等式可加不可減，可乘不可除。
3．已知－≤
α
＜
β
≤，求，的取值範圍．
［解］
∵已知－≤
α
＜
β
≤，
∴－≤＜，－＜≤，
兩式相加，得－＜＜。
∵－＜≤。
∴－≤－＜。
∴－≤＜，
又知
α
＜
β
，∴＜0。
故－≤＜0。
1．在應用不等式性質時，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強化或弱化成立的條件．
2．要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性。
1．思考辨析
（1）
若
a
>
b
，則
ac
>
bc
一定成立．（）
（2）
若
a
＋
c
>
b
＋
d
，則
a
>
b
，
c
>
d
。（）
［提示］
（1）
錯誤．由不等式的可乘性知，當不等式兩端同乘以一個正數時，不等號方向不變，因此若
a
>
b
，則
ac
>
bc
不一定成立．
（2）
錯誤．取
a
＝4，
c
＝5，
b
＝6，
d
＝2。滿足
a
＋
c
>
b
＋
d
，但不滿足
a
>
b
。
［答案］
（1）
×
（2）
×
2．如果
a
＞
b
＞0，
c
＞
d
＞0，則下列不等式中不正確的是（）
A．
a
－
d
＞
b
－
c
B．－＜－
C．
a
＋
d
＞
b
＋
c
D．
ac
＞
bd
C
［
由已知及不等式的性質可得
a
＋
c
＞
b
＋
d
，
即
a
－
d
＞
b
－
c
，所以A正確；
由
c
＞
d
＞0，得＞＞0。
又
a
＞
b
＞0，所以＞，－＜－即B正確；
顯然D正確，因此不正確的選項是C。］
3．若－1＜
α
＜
β
＜1，則下列各式中恆成立的是（）
A．－2＜
α
－
β
＜0 B．－2＜
α
－
β
＜－1
C．－1＜
α
－
β
＜0 D．－1＜
α
－
β
＜1
A
［
由－1＜
α
＜1，－1＜
β
＜1，
得－1＜－
β
＜1。
∴－2＜
α
－
β
＜2，但
α
＜
β
。
故知－2＜
α
－
β
＜0。］
4．若
bc
－
ad
≥0，
bd
>0。求證：≤。
［證明］
因為
bc
－
ad
≥0，所以
ad
≤
bc
，
因為
bd
>0，所以≤，所以＋1≤＋1，所以≤。