原創 Richard Elwes 返樸
數世紀以來，不管對科學家還是對工程師，對數表都是非常實用的工具。現在，因與指數函式的密切聯絡，對數仍充滿了極強的數學吸引力。
撰文 | 理查德·埃爾威斯（Richard Elwes）
翻譯 | 齊瑞紅、房超、於幻
在過去的很多年中，很多人習慣地把對數表放在手邊用來幫助自己進行乘法和除法運算。在20世紀後半葉，便攜計算器最終將對數表推入歷史。但是，在級數和微積分的深層數學領域中，那引人入勝的發現確保了對數本身永不過時。
在16世紀後期，約翰·納皮爾（John Napier）開始研究他最初稱為“人造數”的數。他發現了一種方法，可以將複雜的乘法運算轉化為相當簡單的加法運算。為了求兩個數的乘積，如4587和1962，他首先計算這兩個數的人造數並求它們的和。然後將這兩個人造數的和進行反人造數運算，即計算原數使得它的人造數就是這個和。雖然這個過程沒有涉及乘法運算，但所得的結果確實是原來那兩個數的乘積——8 999 694。
地震儀用來測量地震的強度。衡量地震強度的、國際上通用的里氏震級表正是對數運算：測定為3 級的地震強度是測定為2級的地震強度的10倍。
納皮爾的對數
不久後，納皮爾給他的人造數起了一個新的、更好的名字——對數。今天，我們明白對數只是冪運算的逆運算。冪運算指某數與它本身重複相乘，所以，“2的3次方”指3個2相乘，即2×2×2=8，也可寫作23=8。相應地，我們說“以2為底，8的對數是3”，記作log28=3 。可以以任何數為底數來取對數，例如：以10為底，1000的對數是3（因為10×10×10=103）。對於納皮爾的乘法，整個計算過程需要確定一個底數。所以，計算8乘以64的積，先以2為底取對數，分別得到3和6，對這兩個對數求和：3+6=9。最後一步是對數的計算過程的逆運算，即計算29=512（可以核查8×64=512）。
布里格斯的對數表
在約翰·納皮爾發明對數後不久，亨利·布里格斯（Henry Briggs）開始把它轉變成一個有用的工具。因為我們應用十進位制數制來表示數，布里格斯選擇以10為底計算對數是比較方便的，並開始著手製作一個“對數表” ——從1到1000 的所有整數的對數。在幾年時間裡，布里格斯和其他數學家將這個表推廣到一個更大的數集上。
當然，對於大部分整數來說，它們的對數都不是整數，所以研究者不得不給出他們求得的對數的精確程度。在18世紀後期，加斯帕德·德普羅尼（Gaspard de Prony）監督製作了一個特殊的數學用表，這個數學用表多達17大本雙開卷，包括最大到200 000的正整數的對數，精確到小數點後第19位（對於較大的數，精確到第24位）。
取自約翰·納皮爾 1614 年的專著《奇妙的對數表的描述》裡用的一張最早的對數表。約翰·納皮爾研究的是後來被稱為“自然對數”的對數，而亨利·布里格斯研究的是以10為底的對數——後來被稱為“常用對數” 。
自然對數
自從納皮爾發現對數以來，對數學家來說對數非常有用。就像傑出的科學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）所說的：“對數的發現透過節省勞動使天文學家的壽命翻倍。”但是，對數的數學意義比它作為計算工具的意義更為重要和深遠。在1650年，皮耶特羅·曼戈裡（Pietro Mengoli）首次意識到這一點。他的有關級數的研究與他在對數方面的興趣出乎意料地結合在一起。
調和級數的表示式是
。曼戈裡有些吃驚地注意到這個表示式不趨近任何一個有限數，而是沒有上限地不斷增大。可是，若對它稍做修改，得到的另一個表示式1-
收斂於一個固定的有限數。
這個交錯級數有一個確定的極限，約等於0。693147。曼戈裡證明了這個極限數就是 2 的自然對數（通常記作In2，雖然讀成log2）。自然對數像其他的任何對數一樣，只是對底數有一個特殊選擇，以e為底數，e約等於 2。71828。確實，正是透過自然對數和曼戈裡的結論，數學中最重要的函式之一——指數函式，開始嶄露頭角。
的確，對更準確的對數表的尋找有力地推動了抽象級數理論的發展。在1668年，尼古拉斯·墨卡託（Nikolaus Mercator）出版了名為《對數技術》的著作， 在此著作中，他發現了自然對數的級數公式：
這個美麗的定理正是曼戈裡結果的推廣，曼戈裡的結果對應於x=1的特殊情形。
微積分和對數
墨卡託的定理暗示了自然對數的“自然”，但是一個更完整的故事需要用牛頓和萊布尼茨的微積分理論來訴說。
方程
描述了一個被稱為“倒數”的重要概念。正是這個方程把2和½、4和¼ 、一百萬和一百萬分之一等聯絡起來。從幾何圖形上看，它是一條被稱為“雙曲線”的曲線。出乎意料的是，“自然對數作為這條曲線下方的面積”的說法出現了。這也是對數函式是指數函式的逆函式的這一事實的一個結論。由此可得自然對數y=Inx的導數只能是函式
。雖然現在對數表已被計算機所取代，但是這一深刻的事實確保了對數仍在數學中扮演著一個重要角色。
本文經授權摘自《圖解數學簡史：數學世界中不可不知的100個重大突破》第26篇《對數》。
原標題：《對數：所有天文學家都應該感謝的數學發現》