在網上經常會有人問這樣的問題：圓周率π=3。1415926……無窮無盡下永遠寫不完，那它為什麼又是一個確定了的數呢。或者有人換個問法：直徑為1的圓周長就是π，如果畫的話會永無盡頭，但為什麼我又可以把這個圓完整的地畫出來呢？
圓周率與麥田怪圈
這些問題其實都可以歸結為一個問題：無限不迴圈小數，也稱為無理數，它的本質究竟是什麼？
這個問題不要說你搞不清楚了，無數聰慧絕倫的哲學家與數學家搞了2000年，至今也沒有一個絕對確定的答案。這個問題背後存在著兩種彼此對立的哲學觀——“實無限”與“潛無限”。
從抬頭仰望星空的那一刻起，人類就開始思考關於無限的問題，宇宙是否是無限大？時間是否是無限長？物質是否無限可分？從古希臘時的芝諾悖論，到微積分創立初期關於“無窮小幽靈”的爭論，再到19世紀末偉大的數學家康托爾（Cantor）以天才般的創見提出無窮基數的理論，人們關於無窮的爭論始終在圍繞著“實無限”與“潛無限”展開。
庫布里克經典科幻電影《2001：太空漫遊》中，一直猿猴仰望太空
那麼究竟什麼是“實無限”與“潛無限”呢？當我們說無理數理論是建立在“實無限”的基礎上，又是怎麼一回事呢？
二者都是對無限概念的一種描述。實無限認為，無限是一個已經完成了的，實實在在存在著的，可以被當成獨立的東西來看待的一個整體；而潛無限則認為，無窮是一個不斷延續的，永不停止的過程，因此它不能被當成獨立的整體來看待。比如自然數這個概念，潛無限主義者認為，當我們說“全體自然數”時是沒有意義的。因為我們永遠不可能窮盡所有的自然數，每當你寫一個自然數，我都可以找到它的下一個自然數（加上1即可），所以它是一個永遠延續的過程，人類理性無法把握“全體自然數”這個概念。而實無限論者則認為，說“全體自然數”是有意義的，它們整體構成一個集合，而這個集合是存在的，我們可以對這個集合進行各種操作，學過高中數學的我們自然就知道了，它其實就是
N
。
亞里士多德
古希臘亞里士多德是歷史上第一個明確區分實無限與潛無限的人，並且他只承認潛無限。而古希臘歷史上最著名的有關無限的問題，大概要數芝諾悖論了。芝諾為了反駁另一位哲學家赫拉克里特提出的“世界處於永恆變化之中”這一觀點，提出了有關運動的四條悖論，其中一條有關人和烏龜賽跑的悖論最讓人疑惑。
開始時人落後烏龜10km，假設人的速度是烏龜的10倍，那麼一直跑下去人肯定能追上烏龜。但是現在我們考慮另外一種事實，當人正好跑完這10km時，烏龜又往前跑了1km；當人跑完這1km時，烏龜又跑了0。1km；當人跑了0。1km時，烏龜又跑了0。01km……，如此下去，人永遠也趕不上烏龜。
我們當然知道人最終肯定能趕上並超過誤會，但是上面的論述問題出在哪兒呢？其實這就是實無限與潛無限的分歧所在。按照潛無限的觀點，人追趕烏龜這個過程是無窮無盡的，因此人永遠追不上烏龜。但實無限者則認為，經過計算可以得到當距離為100/9時人正好趕上烏龜，而100/9是一個實在的數，中間不管過程如何無限，但這個結果是確確實實是存在的，因此人能趕上烏龜。
可以看出，就結果而言，實無限者是對的。而我們的現代數學理論，特別是有關無理數的理論，就是以實無限為基礎的。
對於整數和有理數，我們可以很輕易的理解它。但對於無理數，即無限不迴圈小數，很多人就開始懷疑它的存在。拿√2這個數舉例子。我們知道：
√2=1。4142…
那我們如何來確定它到底是什麼呢。上文提到的德國數學家康托爾和另外一位德國數學家戴德金（Dedekind）分別給出了自己的定義方式。
康托爾
康托爾是利用有理數基本序列的方式來定義√2的，簡單來說，做一個數列：
1，1。4，1。41，1。414，1。4142，…
利用數學分析裡面的柯西收斂準則可以判定這個數列是有極限的，那麼我們就給這個數列起一個名字，叫做√2。
可以看出實無限的思想在這裡體現的非常明顯。因為一串數列是無限長的，而我們將這無限長的東西當成了一個整體並承認其存在，然後才能給它起一個名字。按照潛無限的觀點，這一串數列作為整體是不存在的，就更談不上起名字了。
戴德金
而戴德金採取的則是對有理數進行分割的方式來定義√2，做一個集合
｛x是有理數| x²<2 或 x<0｝
可以看出這個集合是由所有位於√2左側的有理陣列成的，或者說他以√2為界把所有有理數劈成左右兩半，這就是為什麼這種方法被稱為分割的原因。而上述集合也是包含無限多個元素的，實無限者承認無限集合的存在，於是給它起一個名字叫√2。
上面就是定義無理數或實數最常用的兩個方式，而不管哪個方式，都是蘊含了實無限的思想在裡面。也就是說，每一個無理數，實際上背後都對應了一個無限事物，如果你承認了無限事物的整體存在性，即實無限，那麼也就相當於承認了無理數的存在性。這就是前文我為說現代數學是建立在實無限觀基礎上的原因。
當然並不是所有人都是實無限論者，堅持潛無限的人也大有人在，其中就包括康托爾的老師，德國數學家克羅內克（Kronecker）。克羅內克拒絕承認任何超出人類直覺理性範圍之外的東西，別說是無理數了，連有理數它也拒絕承認其存在。他的一句名言是：上帝創造了整數，其它都是人造的。更讓人感嘆的是，正是他的得意門生康托爾，提出了實無限的數學理論，他不僅不支援，甚至還極力反對。康托爾在老師和其他學者的攻擊之下，最終患上了精神病，住進了瘋人院。
克羅內克
克羅內克是近代直覺主義的精神先驅，後來的一些數學家，以布勞維爾為代表，形成了20世紀數學基礎三大理論之一的直覺主義學派，其思想一直影響到現在。