首先啊，這個題確實是好題，正方形為背景的摺疊問題，題目如下：

【廣東中考2021第23題】如圖，邊長為1的正方形 ABCD 中，點 E 為 AD 的中點．連線 BE ，將△ABE 沿 BE 摺疊得到△FBE ， BF 交BF 交 AC 於點G ，求CG

方法一：先來看看網上流傳的解法：延長BF至交CD於點H，連線EH，FH

第一步：證明

，可得

為角平分線；

第二步：由摺疊可得

可得為角平分線，結合

為角平分線可得

。至此，一線三等角相似模型形成，

第三步：

八字形相似

這個解法的突破口就在於第三步，構造八字形相似，要想求CH，則只需求DH，而這裡DH的求得則十分的巧妙，巧就巧在點

是中點，從而有了角分模型的存在，進而才有一線三直角的模型。

所以如果點G不是中點呢？似乎這個方法就做不了了，但是顯然

點確定，則

點也確定了，因此連線

，

點也確定了，故CG可求，可是該怎麼求呢？

在這裡，我們可以先看看高中的解法：

方法二：【高中解法】建立如圖所示座標系：

第一步：由

，由於

，由正切的二倍角公式，可得

第二步：可求得直線

所在直線方程

；

第三步：求BF與AC的交點座標，聯立方程

，

可得，

，即

進而

，

。

顯然高中的解析的解法是這個題最本質的做法，要求長度，只需尋找座標便可。

可是在初中並沒有學過三角函式的二倍角公式，因此就不能公式計算出

的正切，由於初中也沒有直線的點斜式，也寫不出BF的方程，雖然初中學過直線的方程，但是都是以待定係數帶入點的座標而求得，所以在這裡，這種解析的方式並不適合初中。

其實，我看到這個圖的第一反應變是延長EF交AB於點J，連線BJ，為什麼呢？因為我對這個“半形模型”特別熟悉，並且我還知道只要E點確定則J點也隨之確定，因此CJ可求，而FJ=CJ，則FJ，EJ也可求。具體做法如下：

設CJ=x，則FJ=x，考慮

，用勾股定理建方程便可求得

，即點J的位置確定。

雖然我們沒有高中的工具，但是至少方法2在這裡給了我們一個思路：求

，在這裡，過點G作GK⊥AB與點K，

，而

，

所以我只需求得

的值便可，如何求呢？注意到

​頂點是一個直角頂點，所以考慮延長FE與BA相交於點I，這樣便可以將

安放在一個直角三角形中，寄希望可以透過長度來求得其正切值。

注意點E是中點，故

與

“8字型”全等（如果點E不是中點，則是“8字型”相似），可求得

，進而

，

所以，

，

，可求得

，因此

，

故

最後整理一下這個過程：

方法三：

這種做法雖然稍顯繁瑣，但至少可以解決當E點不是中點時，方法一不能求得結果的缺陷。

其實，方法三的做法正好可以作為推導二倍角正切的初等幾何模型，大家不妨可以試試！