今天我要與你談論一個在初中階段，數學學習過程中避不開的問題，那就是“分式方程的增根究竟是如何產生的？”這個問題看似簡單，可是啊，要把它真的解釋清楚，還真沒有那麼容易。

要回答關於增根的問題，肯定得先從分式方程談起，你先來看看下面這個方程：

它的常規解法是，首先給方程兩邊同乘

，去分母化簡後的結果為：

，然後再經過去括號，移項，合併同類項等步驟，得到最終的結果為x=1，經檢驗，x=1是原分式方程的增根，因此呢，原分式方程無解。我將具體的化簡過程附在了音訊的文稿中，如果你有興趣，可以開啟文稿看一看。

講到這裡，你可能會非常疑惑：明明解出來x=1，為什麼說原方程無解，到底是哪裡出了問題？

為了更好地說明這個問題，我最近查閱了一些相關的資料，在《中學數學教學參考》上找到了一篇文章，叫做《分式方程的增根究竟是如何產生的？》。這篇文章能很好地幫助我們理解分式方程的增根。接下來，我就來分享一下文章中的主要觀點。

這篇文章實際上是《中學數學教學參考》編輯部，專門針對“分式方程的增根是如何產生的”這個問題，而組織的一次線上研討活動，參與這次研討活動的有十幾位一線教師，他們結合自己的實際教學經歷，對這一問題發表了各自的看法。

將這些老師的觀點進行彙總，我發現，老師基本上都認為，解分式方程產生增根的原因是：在解分式方程的時候，給方程兩邊同時乘了0，才導致增根的產生。

因為，根據方程的同解原理2［

方程兩邊都乘以（或除以）不等於0的同一個數，所得方程與原方程是同解方程

］，在對方程進行等價變形時，方程兩邊不能同時乘以0，如果乘以0，那麼變形後的方程不一定與原方程等價，因此，得到的解就不一定是原分式方程的解。

方程的同解原理2:方程兩邊都乘以（或除以）不等於0的同一個數，所得方程與原方程是同解方程。

等式的基本性質2：等式兩邊同乘以一個數或同除以一個不為0的數，等式依然成立。

可能我這樣解釋，你還是覺得雲裡霧裡，不太明白這個說法到底是什麼意思。不要著急，我換另外一種說法，來給你慢慢解釋。

來看這個一元二次方程：

用求根公式進行判定，這個式子的判別式

，結果小於0，應該是不存在實數解的。

但是，如果我給方程兩邊同時乘a-5，就會有奇蹟發生。你會發現，方程竟然產生了實數根，為a=5。

我把具體的計算過程放在了文稿中，這裡強烈建議你開啟文稿看一看。

這是為什麼呢？原來的一元二次方程明明沒有實數根，整個變形過程似乎也合情合理，結果怎麼會與原來不一樣呢？

其實也好理解，你只要回過頭稍微仔細看一看，就會發現變形過程中的破綻。上面的變形中，我們實際上是給方程兩邊同時乘了一個0，（因為最終的結果是a=5，所以a-5=0），因此，無論原來的方程

，有沒有實數根，變形後的方程都會有解，這樣才導致產生了a=5這個“假根”。

你看，不光是分式方程，就連整式方程，如果在化簡變形過程中，沒有嚴格依據方程的同解原理2，也會產生所謂的“增根”或“假根”。

以上，就是今天的內容，希望聽了以後對你有所啟發，關於分式方程的增根問題，下期節目我們接著聊。

參考文獻：鍾珍玖，潘紅玉。分式方程的增根究竟是如何產生的［J］。中學數學教學參考，2018（8）。