這個問題最先由18世紀著名的數學家，物理學家丹尼爾-伯努利（Daniel Bernoull）在一次錯放信件後提出，隨後他與同時代另一位數學家尤拉（L。 Euler）在通訊中交流了這個問題，尤拉給出了這類問題的首個完美的解決方法

也有一說該問題是伯努利和尤拉共同提出的，畢竟他們曾經一起在彼得堡科學院工作過

無論哪種說法是真實的，由於牽扯到了18世紀的兩位著名數學家，這類問題被稱為伯努利錯放信箋問題，或尤拉錯位排列

尤拉錯排問題的標準描述如下

顯然本文標題是尤拉錯排問題中 n = 6 的一個特殊情況，為了說明方便，我們將標題中題目做如下轉化

對於初中的讀者，受知識所限，只能透過列舉的辦法研究，列舉時要按照一定規律，不重複也不遺漏，如先考慮第一位不能是A，則第一位可能是B，C，D，E，F中的一個，所以討論應該首先分五大類，當第一位是B時，再考慮第二位，依次類推

如果經過一些嘗試就不難發現，六個字母的錯位排列數比較大，列舉起來很困難，這時就要考慮其他思路，比如先研究五個字母，四個字母或者更少字母的全排列數，看是否有規律

這樣我就歸納出從1到5的錯排數分別是0，1，2，9，44，我們需要研究這列數的規律，來得到6個元素的錯排數是多少

這樣我們就可以得出結論，編號1-6的信放入編號1-6的信封中，共有265种放置方法，使得信與信封的編號對應全部錯誤，當然，根據上面的規律也可以進一步依次推算任意元素數的全錯排數

對於高中的讀者，可以進一步研究這個問題，首先我們把剛剛總結的內容當作一道數列題目

觀察遞推公式的形式，完全可以用特徵方程的方法處理，但得到的通項公式需要用二項式定理展開，才可以得到和將要介紹的其他方法得到的式子相同，所以在這裡我們介紹一種普通的構造新數列的方法來處理

這樣就得出了n個元素錯位排列的排列數，結論如下圖

細心的讀者會發現整個推導過程還存在一個嚴重的漏洞，即上述遞推公式只是我們從數列的前5項歸納得來的，邏輯上說，並不能說明第六項以及後面的項都遵從這個遞推公式，而為了說明這一點，就需要加以證明，這部分證明文字部分較多，我們簡略介紹，可以跳過直接看後面排列組合的方法

透過上述證明，說明了我們歸納的遞推公式對任意 n≥3都成立，這樣整個的過程都是完整的，這裡有一點需要讀者思考，上圖遞推公式的證明與數學歸納法類似，但並不是數學歸納法，區別在哪裡

我們研究的尤拉錯排問題畢竟是一道組合數學問題，是否能透過高中學過的排列組合的知識給出解答呢，回答是肯定的，我們直接給出6個元素的錯排數的算式

上面算式的思路顯然是在全排列數中排除有正確排列的情況，有正確排列的情況包括有一個元素排列正確；兩個元素排列正確；……，但顯然，我們無法用簡單的式子表示1個元素排列正確，其他5個都錯誤的情況，因為如果有這樣的式子，我們直接就可以計算6個元素排列錯誤的情況了，所以我們退而求其次，計算一個元素排列正確，而不管其他元素排列是否正確；兩個元素排列正確，而不管其他元素排列是否正確；依次類推，用全排列數減去這些情況

觀察下面兩個式子

顯然加減交替的第一個式子是正確的，全減法的第二個式子是錯誤的，初學這類涉及容斥原理的學生可能難以理解這一點，簡要的解釋如下

如果學過容斥原理公式，上面的式子就非常容易理解了，篇幅所限，這裡暫時先不介紹容斥原理，今天所介紹的數列求通項公式的方法和排列組合的思想都很有價值，且有一定難度，值得反覆思考理解